Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} - 7 x^{2} - x + 7}{x - 7}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{3} - 7 x^{2} - x + 7$ .

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Schritt 1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = \frac{(x^{3} - 7 x^{2}) - x + 7}{x - 7}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = \frac{x^{2} (x - 7) - (x - 7)}{x - 7}$

Schritt 1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 7$ .

$f (x) = \frac{(x - 7) (x^{2} - 1)}{x - 7}$

Schritt 1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x) = \frac{(x - 7) (x^{2} - 1^{2})}{x - 7}$

Schritt 1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f (x) = \frac{(x - 7) ((x + 1) (x - 1))}{x - 7}$

Schritt 1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = \frac{(x - 7) (x + 1) (x - 1)}{x - 7}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{(x - 7) (x + 1) (x - 1)}{x - 7}$

Schritt 2.2

Dividiere $(x + 1) (x - 1)$ durch $1$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 1)$

Schritt 3

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x - 7$

Schritt 4

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $(x + 1) (x - 1)$ .

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Schritt 4.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 4.3

Setze $7$ für $x$ in $(x + 1) (x - 1)$ ein und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Setze $7$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$(7 + 1) (7 - 1)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Addiere $7$ und $1$ .

$8 (7 - 1)$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $7$ .

$8 \cdot 6$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$48$

Schritt 4.4

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(7, 48)$

Schritt 5