Algebra Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - 1$ , $g (x) = \sqrt{\frac{x + 1}{2}}$

Schritt 1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (g (x))$

Schritt 2

Berechne $f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $g$ in $f$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\sqrt{\frac{x + 1}{2}})}^{2} - 1$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{x + 1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{2}}$ um.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{2}})}^{2} - 1$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} - 1$

Schritt 3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} - 1$

Schritt 3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} - 1$

Schritt 3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} - 1$

Schritt 3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} - 1$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} - 1$

Schritt 3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - 1$

Schritt 3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - 1$

Schritt 3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} - 1$

Schritt 3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} - 1$

Schritt 3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{2}}{2})}^{2} - 1$

Schritt 3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{2}}{2})}^{2} - 1$

Schritt 3.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 {(\frac{\sqrt{(x + 1) \cdot 2}}{2})}^{2} - 1$

Schritt 3.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{(x + 1) \cdot 2}}{2}$ an.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{{\sqrt{(x + 1) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Schreibe ${\sqrt{(x + 1) \cdot 2}}^{2}$ als $(x + 1) \cdot 2$ um.

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Schritt 3.6.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(x + 1) \cdot 2}$ als ${((x + 1) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{{({((x + 1) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.6.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{{((x + 1) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.6.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{{((x + 1) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{{((x + 1) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.6.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{(x + 1) \cdot 2}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.6.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{(x + 1) \cdot 2}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{x \cdot 2 + 1 \cdot 2}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{2 \cdot x + 1 \cdot 2}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{2 \cdot x + 2}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.6.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 3.6.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{2 (x) + 2}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.6.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{2 (x) + 2 (1)}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.6.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{2 (x + 1)}{2^{2}}) - 1$

Schritt 3.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{2 (x + 1)}{4}) - 1$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{2 (x + 1)}{2 (2)}) - 1$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = 2 (\frac{2 (x + 1)}{2 \cdot 2}) - 1$

Schritt 3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = \frac{2 (x + 1)}{2} - 1$

Schritt 3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = \frac{2 (x + 1)}{2} - 1$

Schritt 3.9.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = x + 1 - 1$

Schritt 4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = x + 0$

Schritt 4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt{\frac{x + 1}{2}}) = x$