Algebra Beispiele

$- 600 = \frac{2}{5} k^{3} + 750$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{5} k^{3} + 750 = - 600$ um.

$\frac{2}{5} k^{3} + 750 = - 600$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{5} + 750 = - 600$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $k$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $750$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 k^{3}}{5} = - 600 - 750$

Schritt 3.2

Subtrahiere $750$ von $- 600$ .

$\frac{2 k^{3}}{5} = - 1350$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{2 k^{3}}{5} = \frac{5}{2} \cdot - 1350$

Schritt 5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $\frac{5}{2} \cdot \frac{2 k^{3}}{5}$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kombinieren.

$\frac{5 (2 k^{3})}{2 \cdot 5} = \frac{5}{2} \cdot - 1350$

Schritt 5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (2 k^{3})}{2 \cdot 5} = \frac{5}{2} \cdot - 1350$

Schritt 5.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 k^{3}}{2} = \frac{5}{2} \cdot - 1350$

Schritt 5.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 k^{3}}{2} = \frac{5}{2} \cdot - 1350$

Schritt 5.1.1.3.2

Dividiere $k^{3}$ durch $1$ .

$k^{3} = \frac{5}{2} \cdot - 1350$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{5}{2} \cdot - 1350$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1350$ heraus.

$k^{3} = \frac{5}{2} \cdot (2 (- 675))$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k^{3} = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 675)$

Schritt 5.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$k^{3} = 5 \cdot - 675$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 675$ .

$k^{3} = - 3375$

Schritt 6

Addiere $3375$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$k^{3} + 3375 = 0$

Schritt 7

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Schreibe $3375$ als $15^{3}$ um.

$k^{3} + 15^{3} = 0$

Schritt 7.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = k$ und $b = 15$ .

$(k + 15) (k^{2} - k \cdot 15 + 15^{2}) = 0$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$(k + 15) (k^{2} - 15 k + 15^{2}) = 0$

Schritt 7.3.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$(k + 15) (k^{2} - 15 k + 225) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$k + 15 = 0$

$k^{2} - 15 k + 225 = 0$

Schritt 9

Setze $k + 15$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $k + 15$ gleich $0$ .

$k + 15 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$k = - 15$

Schritt 10

Setze $k^{2} - 15 k + 225$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $k^{2} - 15 k + 225$ gleich $0$ .

$k^{2} - 15 k + 225 = 0$

Schritt 10.2

Löse $k^{2} - 15 k + 225 = 0$ nach $k$ auf.

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Schritt 10.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 15$ und $c = 225$ in die Quadratformel ein und löse nach $k$ auf.

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 225)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache.

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Schritt 10.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.3.1.1

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

$k = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 225}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 225$ .

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Schritt 10.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$k = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 225}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $225$ .

$k = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.3

Subtrahiere $900$ von $225$ .

$k = \frac{15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.4

Schreibe $- 675$ als $- 1 (675)$ um.

$k = \frac{15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (675)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ um.

$k = \frac{15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$k = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.7

Schreibe $675$ als $15^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 10.2.3.1.7.1

Faktorisiere $225$ aus $675$ heraus.

$k = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.7.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$k = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$k = \frac{15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.9

Bringe $15$ auf die linke Seite von $i$ .

$k = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$k = \frac{15 + 15 i \sqrt{3}}{2}, \frac{15 - 15 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(k + 15) (k^{2} - 15 k + 225) = 0$ wahr machen.

$k = - 15, \frac{15 + 15 i \sqrt{3}}{2}, \frac{15 - 15 i \sqrt{3}}{2}$