Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 25} \div \frac{x^{2} - 8 x + 15}{x^{2} + 7 x + 10}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $7$ ist.

$2, 5$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{x^{2} - 8 x + 15}$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 5, - 3$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 5) (x - 3)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x + 3) (x - 3)$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 5) (x - 3)}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x - 5) (x - 3)$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 3) (x - 5)}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 3) (x - 5)}$

Schritt 6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{x - 5}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 2) (x + 5)$ heraus.

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 2)}{x - 5}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 2)}{x - 5}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{x - 5} \cdot \frac{x + 2}{x - 5}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{x - 5}$ mit $\frac{x + 2}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{(x - 5) (x - 5)}$

Schritt 7

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)}$

Schritt 8

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}}$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{1 + 1}}$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$