Algebra Beispiele

$\cos (x) \geq \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x \geq \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x \geq \frac{π}{3}$

Schritt 3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cos (3) \geq \frac{1}{2}$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $- 0.98999249$ ist kleiner als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cos (6) \geq \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $0.96017028$ ist größer als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 9$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $9$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cos (9) \geq \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $- 0.91113026$ ist kleiner als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Falsch

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Wahr

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Falsch

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Falsch

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Wahr

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{5 π}{3} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10