Algebra Beispiele

$x^{2} + \frac{7}{2} x - 7 = 0$

Schritt 1

Bringe die Gleichung durch Vereinfachen in eine geeignete Form, um die quadratische Ergänzung anzuwenden.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} - 7 = 0$

Schritt 1.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} = 7$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{7}{4})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2} = 7 + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{4}$ an.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{7^{2}}{4^{2}} = 7 + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{4^{2}} = 7 + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = 7 + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $7 + {(\frac{7}{4})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{4}$ an.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = 7 + \frac{7^{2}}{4^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = 7 + \frac{49}{4^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = 7 + \frac{49}{16}$

Schritt 4.2.1.2

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = 7 \cdot \frac{16}{16} + \frac{49}{16}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $7$ und $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{7 \cdot 16}{16} + \frac{49}{16}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{7 \cdot 16 + 49}{16}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $16$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{112 + 49}{16}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $112$ und $49$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{161}{16}$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{7}{4})}^{2}$ .

${(x + \frac{7}{4})}^{2} = \frac{161}{16}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x + \frac{7}{4} = \pm \sqrt{\frac{161}{16}}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{161}{16}}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{161}{16}}$ als $\frac{\sqrt{161}}{\sqrt{16}}$ um.

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{\sqrt{161}}{\sqrt{16}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{\sqrt{161}}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{\sqrt{161}}{4}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $\frac{7}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{\sqrt{161}}{4} - \frac{7}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{\sqrt{161}}{4} - \frac{7}{4}$

Dezimalform:

$x = 1.42214438 \dots, - 4.92214438 \dots$