Algebra Beispiele

$\log (x^{2} - 2) + 2 \log (6) = \log (6 x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log (x^{2} - 2) + 2 \log (6) - \log (6 x) = 0$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log (6) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 \log (6) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x})$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Vereinfache $2 \log (6)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (6^{2}) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\log (36) + \log (\frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (36 \frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $6$ aus $36$ heraus.

$\log (6 (6) \frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Schritt 3.1.3.2

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$\log (6 (6) \frac{x^{2} - 2}{6 (x)}) = 0$

Schritt 3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (6 \cdot 6 \frac{x^{2} - 2}{6 x}) = 0$

Schritt 3.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\log (6 \frac{x^{2} - 2}{x}) = 0$

Schritt 3.1.4

Kombiniere $6$ und $\frac{x^{2} - 2}{x}$ .

$\log (\frac{6 (x^{2} - 2)}{x}) = 0$

Schritt 4

Schreibe $\log (\frac{6 (x^{2} - 2)}{x}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{6 (x^{2} - 2)}{x}$

Schritt 5

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$6 (x^{2} - 2) = 10^{0} (x)$

Schritt 6

Vereinfache $10^{0} (x)$ .

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Schritt 6.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$6 (x^{2} - 2) = 1 x$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$6 (x^{2} - 2) = x$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 (x^{2} - 2) - x = 0$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 6 \cdot - 2 - x = 0$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$6 x^{2} - 12 - x = 0$

Schritt 8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.1

Stelle die Terme um.

$6 x^{2} - x - 12 = 0$

Schritt 8.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 12 = - 72$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$6 x^{2} - (x) - 12 = 0$

Schritt 8.2.2

Schreibe $- 1$ um als $8$ plus $- 9$

$6 x^{2} + (8 - 9) x - 12 = 0$

Schritt 8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 8 x - 9 x - 12 = 0$

Schritt 8.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} + 8 x) - 9 x - 12 = 0$

Schritt 8.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (3 x + 4) - 3 (3 x + 4) = 0$

Schritt 8.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$

Schritt 9

Vereinfache $(3 x + 4) (2 x - 3)$ .

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Schritt 9.1

Multipliziere $(3 x + 4) (2 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3) = 0$

Schritt 9.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (2 x) + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x - 3) = 0$

Schritt 9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (2 x) + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Schritt 9.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Schritt 9.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Schritt 9.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Schritt 9.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$6 x^{2} - 9 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3 = 0$

Schritt 9.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$6 x^{2} - 9 x + 8 x + 4 \cdot - 3 = 0$

Schritt 9.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$6 x^{2} - 9 x + 8 x - 12 = 0$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 9 x$ und $8 x$ .

$6 x^{2} - x - 12 = 0$

Schritt 10

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 12 = - 72$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$6 x^{2} - (x) - 12 = 0$

Schritt 10.1.2

Schreibe $- 1$ um als $8$ plus $- 9$

$6 x^{2} + (8 - 9) x - 12 = 0$

Schritt 10.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 8 x - 9 x - 12 = 0$

Schritt 10.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} + 8 x) - 9 x - 12 = 0$

Schritt 10.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (3 x + 4) - 3 (3 x + 4) = 0$

Schritt 10.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 12

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Schritt 12.2

Löse $3 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 4$

Schritt 12.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 12.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 12.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 12.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 13

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 13.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 13.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 13.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 13.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{3}{2}$

Schritt 15

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x^{2} - 2) + 2 \log (6) = \log (6 x)$ nicht erfüllen.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$x = 1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 1 \frac{1}{2}$