Algebra Beispiele

$x y (3 x + 2 y) = 4$

Schritt 1

Vereinfache $x y (3 x + 2 y)$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x y (3 x) + x y (2 y) = 4$

Schritt 1.1.2

Stelle um.

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Schritt 1.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x y x + x y (2 y) = 4$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x y x + 2 x y \cdot y = 4$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x) y + 2 x y \cdot y = 4$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} y + 2 x y \cdot y = 4$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.1

Bewege $y$ .

$3 x^{2} y + 2 x (y \cdot y) = 4$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 x^{2} y + 2 x y^{2} = 4$

Schritt 2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y + 2 x y^{2} - 4 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 3 y$ , $b = 2 y^{2}$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{{(2 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 y \cdot - 4)}}{2 (3 y)}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{{(2 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 (y \cdot - 4))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.2

Es sei $u = 3 (y \cdot - 4)$ . Ersetze $u$ für alle $3 (y \cdot - 4)$ .

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Schritt 5.1.2.1

Wende die Produktregel auf $2 y^{2}$ an.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} {(y^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 {(y^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{4} - 4 u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{4} - 4 u$ heraus.

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{4}$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4}) - 4 u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{4}) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - u)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.4

Ersetze alle $u$ durch $3 (y \cdot - 4)$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (3 (y \cdot - 4)))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.5.1

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $y$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (3 (- 4 \cdot y)))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (- 12 y))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.5.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} + 12 y)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $y$ aus $y^{4} + 12 y$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{4}$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y \cdot y^{3} + 12 y)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $y$ aus $12 y$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y \cdot y^{3} + y \cdot 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y^{3} + y \cdot 12$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y (y^{3} + 12))}}{2 \cdot (3 y)}$

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $4 y (y^{3} + 12)$ als $2^{2} (y (y^{3} + 12))$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} (y (y^{3} + 12))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{6 y}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{6 y}$ .

$x = \frac{- y^{2} \pm \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{{(2 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 (y \cdot - 4))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.2

Es sei $u = 3 (y \cdot - 4)$ . Ersetze $u$ für alle $3 (y \cdot - 4)$ .

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Schritt 6.1.2.1

Wende die Produktregel auf $2 y^{2}$ an.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} {(y^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 {(y^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{4} - 4 u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{4} - 4 u$ heraus.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{4}$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4}) - 4 u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{4}) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - u)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.4

Ersetze alle $u$ durch $3 (y \cdot - 4)$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (3 (y \cdot - 4)))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.5.1

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $y$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (3 (- 4 \cdot y)))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (- 12 y))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.5.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} + 12 y)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.6

Faktorisiere $y$ aus $y^{4} + 12 y$ heraus.

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Schritt 6.1.6.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{4}$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y \cdot y^{3} + 12 y)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.6.2

Faktorisiere $y$ aus $12 y$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y \cdot y^{3} + y \cdot 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.6.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y^{3} + y \cdot 12$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y (y^{3} + 12))}}{2 \cdot (3 y)}$

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $4 y (y^{3} + 12)$ als $2^{2} (y (y^{3} + 12))$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} (y (y^{3} + 12))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{6 y}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{6 y}$ .

$x = \frac{- y^{2} \pm \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- (y^{2}) + \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{y (y^{3} + 12)}$ heraus.

$x = \frac{- (y^{2}) - 1 (- \sqrt{y (y^{3} + 12)})}{3 y}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2}) - 1 (- \sqrt{y (y^{3} + 12)})$ heraus.

$x = \frac{- (y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)})}{3 y}$

Schritt 6.8

Schreibe $- (y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)})$ als $- 1 (y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)})$ um.

$x = \frac{- 1 (y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)})}{3 y}$

Schritt 6.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{{(2 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 (y \cdot - 4))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.2

Es sei $u = 3 (y \cdot - 4)$ . Ersetze $u$ für alle $3 (y \cdot - 4)$ .

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Schritt 7.1.2.1

Wende die Produktregel auf $2 y^{2}$ an.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} {(y^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 {(y^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 7.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 y)}$

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y^{4} - 4 u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{4} - 4 u$ heraus.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{4}$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4}) - 4 u}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{4}) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - u)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.4

Ersetze alle $u$ durch $3 (y \cdot - 4)$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (3 (y \cdot - 4)))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.5.1

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $y$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (3 (- 4 \cdot y)))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} - (- 12 y))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.5.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y^{4} + 12 y)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.6

Faktorisiere $y$ aus $y^{4} + 12 y$ heraus.

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Schritt 7.1.6.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{4}$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y \cdot y^{3} + 12 y)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.6.2

Faktorisiere $y$ aus $12 y$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y \cdot y^{3} + y \cdot 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.6.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y^{3} + y \cdot 12$ heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 (y (y^{3} + 12))}}{2 \cdot (3 y)}$

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{4 y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $4 y (y^{3} + 12)$ als $2^{2} (y (y^{3} + 12))$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm \sqrt{2^{2} (y (y^{3} + 12))}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{2 \cdot (3 y)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{6 y}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 2 y^{2} \pm 2 \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{6 y}$ .

$x = \frac{- y^{2} \pm \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- (y^{2}) - \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{y (y^{3} + 12)}$ heraus.

$x = \frac{- (y^{2}) - (\sqrt{y (y^{3} + 12)})}{3 y}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2}) - (\sqrt{y (y^{3} + 12)})$ heraus.

$x = \frac{- (y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)})}{3 y}$

Schritt 7.8

Schreibe $- (y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)})$ als $- 1 (y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)})$ um.

$x = \frac{- 1 (y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)})}{3 y}$

Schritt 7.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{y^{2} - \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$

$x = - \frac{y^{2} + \sqrt{y (y^{3} + 12)}}{3 y}$