Algebra Beispiele

$\frac{1}{1 + \sqrt{x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2

Setze den Nenner in $\frac{1}{1 + \sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + \sqrt{x} = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x} = - 1$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 1$

Schritt 3.4

Schließe die Lösungen aus, die $1 + \sqrt{x} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 5

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(0, 1]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | 0 < y \leq 1}$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[0, \infty), {x | x \geq 0}$

Wertebereich: $(0, 1], {y | 0 < y \leq 1}$

Schritt 7