Algebra Beispiele

$h = \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} t$ ; for $t$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot (g t^{2}) + v t = h$ um.

$\frac{1}{2} \cdot (g t^{2}) + v t = h$

Schritt 2

Multipliziere $\frac{1}{2} (g t^{2})$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere $g$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{g}{2} t^{2} + v t = h$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{g}{2}$ und $t^{2}$ .

$\frac{g t^{2}}{2} + v t = h$

Schritt 3

Subtrahiere $h$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{g t^{2}}{2} + v t - h = 0$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{g t^{2}}{2}) + 2 (v t) + 2 (- h) = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{g t^{2}}{2}) + 2 (v t) + 2 (- h) = 0$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$g t^{2} + 2 (v t) + 2 (- h) = 0$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$g t^{2} + 2 v t - 2 h = 0$

Schritt 4.3

Bewege $v$ .

$g t^{2} + 2 t v - 2 h = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = g$ , $b = 2 v$ und $c = - 2 h$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{- 2 v \pm \sqrt{{(2 v)}^{2} - 4 \cdot (g \cdot (- 2 h))}}{2 g}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Füge Klammern hinzu.

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{{(2 v)}^{2} - 4 \cdot (g \cdot (- 2 h))}}{2 g}$

Schritt 7.1.2

Es sei $u = g \cdot (- 2 h)$ . Ersetze $u$ für alle $g \cdot (- 2 h)$ .

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Schritt 7.1.2.1

Wende die Produktregel auf $2 v$ an.

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{2^{2} v^{2} - 4 \cdot u}}{2 g}$

Schritt 7.1.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 v^{2} - 4 u}}{2 g}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 v^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 v^{2}$ heraus.

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2}) - 4 u}}{2 g}$

Schritt 7.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2}) + 4 (- u)}}{2 g}$

Schritt 7.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (v^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2} - u)}}{2 g}$

Schritt 7.1.4

Ersetze alle $u$ durch $g \cdot (- 2 h)$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2} - (g \cdot (- 2 h)))}}{2 g}$

Schritt 7.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2} - (- 2 g h))}}{2 g}$

Schritt 7.1.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{4 (v^{2} + 2 g h)}}{2 g}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$t = \frac{- 2 v \pm \sqrt{2^{2} (v^{2} + 2 g h)}}{2 g}$

Schritt 7.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \frac{- 2 v \pm 2 \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{2 g}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\frac{- 2 v \pm 2 \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{2 g}$ .

$t = \frac{- v \pm \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{g}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = - \frac{v - \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{g}$

$t = - \frac{v + \sqrt{v^{2} + 2 g h}}{g}$