Algebra Beispiele

$y = 3 {(x - 6)}^{2} - 2$

Schritt 1

Die Mutterfunktion ist die einfachste Form des gegebenen Funktionstypen.

$y = x^{2}$

Schritt 2

Vereinfache $3 {(x - 6)}^{2} - 2$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(x - 6)}^{2}$ als $(x - 6) (x - 6)$ um.

$y = 3 ((x - 6) (x - 6)) - 2$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(x - 6) (x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 (x (x - 6) - 6 (x - 6)) - 2$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) - 2$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 2$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = 3 (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 2$

Schritt 2.1.3.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = 3 (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) - 2$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$y = 3 (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) - 2$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$y = 3 (x^{2} - 12 x + 36) - 2$

Schritt 2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 x^{2} + 3 (- 12 x) + 3 \cdot 36 - 2$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$y = 3 x^{2} - 36 x + 3 \cdot 36 - 2$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $36$ .

$y = 3 x^{2} - 36 x + 108 - 2$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von $108$ .

$y = 3 x^{2} - 36 x + 106$

Schritt 3

Nehme an, dass $y = x^{2}$ $f (x) = x^{2}$ ist und $y = 3 {(x - 6)}^{2} - 2$ ist $g (x) = 3 x^{2} - 36 x + 106$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = 3 x^{2} - 36 x + 106$

Schritt 4

Die beschriebene Transformation ist von $f (x) = x^{2}$ nach $g (x) = 3 x^{2} - 36 x + 106$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = 3 x^{2} - 36 x + 106$

Schritt 5

Ermittle die Scheitelform von $g (x) = 3 x^{2} - 36 x + 106$ .

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Schritt 5.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $3 x^{2} - 36 x + 106$ an.

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Schritt 5.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = - 36$

$c = 106$

Schritt 5.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $2$ .

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Schritt 5.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (3)}$

Schritt 5.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 18}{3}$

Schritt 5.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $3$ .

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Schritt 5.1.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 18$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot - 6}{3}$

Schritt 5.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot - 6}{3 (1)}$

Schritt 5.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3 \cdot - 6}{3 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{1}$

Schritt 5.1.3.2.2.2.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$d = - 6$

Schritt 5.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 106 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.2.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$e = 106 - \frac{1296}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = 106 - \frac{1296}{12}$

Schritt 5.1.4.2.1.3

Dividiere $1296$ durch $12$ .

$e = 106 - 1 \cdot 108$

Schritt 5.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $108$ .

$e = 106 - 108$

Schritt 5.1.4.2.2

Subtrahiere $108$ von $106$ .

$e = - 2$

Schritt 5.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(x - 6)}^{2} - 2$ ein.

$3 {(x - 6)}^{2} - 2$

Schritt 5.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 3 {(x - 6)}^{2} - 2$

Schritt 6

Die horizontale Verschiebung hängt vom Wert von $h$ ab. Die horizontale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

$g (x) = f (x + h)$ – Der Graph ist um $h$ Einheiten nach links verschoben.

$g (x) = f (x - h)$ – Der Graph ist um $h$ Einheiten nach rechts verschoben.

Horizontale Verschiebung: Rechte $6$ Einheiten

Schritt 7

Die vertikale Verschiebung hängt vom Wert von $k$ ab. Die vertikale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

$g (x) = f (x) + k$ - Der Graph ist um $k$ Einheiten nach oben verschoben.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Vertikale Verschiebung: $2$ Einheiten nach unten

Schritt 8

Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt, wenn $g (x) = - f (x)$ .

Spiegelung an der x-Achse: Keine

Schritt 9

Der Graph wird an der y-Achse gespiegelt, wenn $g (x) = f (- x)$ .

Spiegelung an der y-Achse: Keine

Schritt 10

Stauchen und Strecken hängt vom Wert von $a$ ab.

Wenn $a$ größer als $1$ ist: Vertikal gestreckt

Wenn $a$ zwischen $0$ und $1$ liegt: Vertikal gestaucht

Vertikale Stauchung oder Streckung: Gestreckt

Schritt 11

Vergleiche und liste die Transformationen auf.

Mutterfunktion: $y = x^{2}$

Horizontale Verschiebung: Rechte $6$ Einheiten

Vertikale Verschiebung: $2$ Einheiten nach unten

Spiegelung an der x-Achse: Keine

Spiegelung an der y-Achse: Keine

Vertikale Stauchung oder Streckung: Gestreckt

Schritt 12