Algebra Beispiele

$\frac{8}{(x - 7) (x + 3)} = \frac{7}{3 x - 10}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{7}{3 x - 10}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{8}{(x - 7) (x + 3)} - \frac{7}{3 x - 10} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{8}{(x - 7) (x + 3)} - \frac{7}{3 x - 10}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{8}{(x - 7) (x + 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 10}{3 x - 10}$ .

$\frac{8}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{3 x - 10}{3 x - 10} - \frac{7}{3 x - 10} = 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{7}{3 x - 10}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x - 7) (x + 3)}{(x - 7) (x + 3)}$ .

$\frac{8}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{3 x - 10}{3 x - 10} - \frac{7}{3 x - 10} \cdot \frac{(x - 7) (x + 3)}{(x - 7) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 7) (x + 3) (3 x - 10)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{8}{(x - 7) (x + 3)}$ mit $\frac{3 x - 10}{3 x - 10}$ .

$\frac{8 (3 x - 10)}{(x - 7) (x + 3) (3 x - 10)} - \frac{7}{3 x - 10} \cdot \frac{(x - 7) (x + 3)}{(x - 7) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{7}{3 x - 10}$ mit $\frac{(x - 7) (x + 3)}{(x - 7) (x + 3)}$ .

$\frac{8 (3 x - 10)}{(x - 7) (x + 3) (3 x - 10)} - \frac{7 ((x - 7) (x + 3))}{(3 x - 10) ((x - 7) (x + 3))} = 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 7) (x + 3) (3 x - 10)$ um.

$\frac{8 (3 x - 10)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} - \frac{7 ((x - 7) (x + 3))}{(3 x - 10) ((x - 7) (x + 3))} = 0$

Schritt 2.3.4

Stelle die Faktoren von $(3 x - 10) ((x - 7) (x + 3))$ um.

$\frac{8 (3 x - 10)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} - \frac{7 ((x - 7) (x + 3))}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 (3 x - 10) - 7 ((x - 7) (x + 3))}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (3 x) + 8 \cdot - 10 - 7 (x - 7) (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{24 x + 8 \cdot - 10 - 7 (x - 7) (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 10$ .

$\frac{24 x - 80 - 7 (x - 7) (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 x - 80 + (- 7 x - 7 \cdot - 7) (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$\frac{24 x - 80 + (- 7 x + 49) (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.6

Multipliziere $(- 7 x + 49) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 x - 80 - 7 x (x + 3) + 49 (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 x - 80 - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 3 + 49 (x + 3)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 x - 80 - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 3 + 49 x + 49 \cdot 3}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.7.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.7.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{24 x - 80 - 7 (x \cdot x) - 7 x \cdot 3 + 49 x + 49 \cdot 3}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.7.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{24 x - 80 - 7 x^{2} - 7 x \cdot 3 + 49 x + 49 \cdot 3}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$\frac{24 x - 80 - 7 x^{2} - 21 x + 49 x + 49 \cdot 3}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.7.1.3

Mutltipliziere $49$ mit $3$ .

$\frac{24 x - 80 - 7 x^{2} - 21 x + 49 x + 147}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.7.2

Addiere $- 21 x$ und $49 x$ .

$\frac{24 x - 80 - 7 x^{2} + 28 x + 147}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.8

Addiere $24 x$ und $28 x$ .

$\frac{52 x - 80 - 7 x^{2} + 147}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.9

Addiere $- 80$ und $147$ .

$\frac{52 x - 7 x^{2} + 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.5.10

Stelle die Terme um.

$\frac{- 7 x^{2} + 52 x + 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (7 x^{2}) + 52 x + 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $52 x$ heraus.

$\frac{- (7 x^{2}) - (- 52 x) + 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 x^{2}) - (- 52 x)$ heraus.

$\frac{- (7 x^{2} - 52 x) + 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.9

Schreibe $67$ als $- 1 (- 67)$ um.

$\frac{- (7 x^{2} - 52 x) - 1 (- 67)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 x^{2} - 52 x) - 1 (- 67)$ heraus.

$\frac{- (7 x^{2} - 52 x - 67)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.11

Schreibe $- (7 x^{2} - 52 x - 67)$ als $- 1 (7 x^{2} - 52 x - 67)$ um.

$\frac{- 1 (7 x^{2} - 52 x - 67)}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 x^{2} - 52 x - 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)} = 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{7 x^{2} - 52 x - 67}{(3 x - 10) (x + 3) (x - 7)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(3 x - 10) (x + 3) (x - 7) = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 10 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 4.2

Setze $3 x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $3 x - 10$ gleich $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Schritt 4.2.2

Löse $3 x - 10 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 10$

Schritt 4.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 10$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 10$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Schritt 4.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Schritt 4.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.4

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 10) (x + 3) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{10}{3}, - 3, 7$

Schritt 5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 3, x = \frac{10}{3}, x = 7$

Schritt 6