Algebra Beispiele

$8 x + 3 y + y^{2} = - 263 - x^{2}$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Addiere $263$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x + 3 y + y^{2} + 263 = - x^{2}$

Schritt 1.1.2

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x + 3 y + y^{2} + 263 + x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 8 x + 263 + x^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (8 x + 263 + x^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (8 x + 263 + x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (8 x + 263 + x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 (8 x) - 4 \cdot 263 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 x - 4 \cdot 263 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $263$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 x - 1052 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5

Subtrahiere $1052$ von $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 32 x - 1043 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (8 x + 263 + x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (8 x + 263 + x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 (8 x) - 4 \cdot 263 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 x - 4 \cdot 263 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $263$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 x - 1052 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5

Subtrahiere $1052$ von $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 32 x - 1043 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 1.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 1.5.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})}{2}$

Schritt 1.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})}{2}$

Schritt 1.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (8 x + 263 + x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (8 x + 263 + x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 (8 x) - 4 \cdot 263 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 x - 4 \cdot 263 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $263$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 x - 1052 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5

Subtrahiere $1052$ von $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 32 x - 1043 - 4 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 1.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 1.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}$ heraus.

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Schritt 1.6.4.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 1.6.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})}{2}$

Schritt 1.6.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})}{2}$

Schritt 1.6.4.4

Schreibe $- 1 (3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})$ als $- (3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})$ um.

$y = \frac{- (3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})}{2}$

Schritt 1.6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = - (\frac{3}{2} + \frac{- \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2})$

$y = - \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - (\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2})$

$y = - \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 6

Zerlege den Bruch $\frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

$y = - (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2})$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

$y = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}}{2}$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}$

$y = - \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043})$

Schritt 9

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}$

$y = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 1043}$

Schritt 10