Algebra Beispiele

$\frac{6 - x}{x^{2} - x - 30} \cdot \frac{x^{2} - 100}{2 x^{2} - 200} \div \frac{x + 10}{x + 5}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{6 - x}{x^{2} - x - 30} \cdot \frac{x^{2} - 100}{2 x^{2} - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - x - 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 30$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 6, 5$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{2 x^{2} - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 10^{2}}{2 x^{2} - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 x^{2} - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 200$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x^{2}) - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 200$ heraus.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 x^{2} + 2 \cdot - 100} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 100$ heraus.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x^{2} - 100)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 4.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x^{2} - 10^{2})} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 - x$ und $x - 6$ .

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Schritt 5.1.1

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{- 1 (- 6) - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- 1 (- 6) - (x)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 6) - (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 6 + x)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (x - 6)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x - 6)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.1.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x + 5} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 10$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{x - 10}{2 (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 10$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{x - 10}{2 (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{1}{2} \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x + 5}$ .

$- \frac{1}{2 (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 5.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 (x + 5)}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $x + 5$ aus $2 (x + 5)$ heraus.

$\frac{- 1}{(x + 5) \cdot 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{(x + 5) \cdot 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 10}$

Schritt 5.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x + 10}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $\frac{- 1}{2}$ mit $\frac{1}{x + 10}$ .

$\frac{- 1}{2 (x + 10)}$

Schritt 5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2 (x + 10)}$