Algebra Beispiele

$4 x^{2} - 3 x - 11 \geq - 3 x - 10$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $3 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x^{2} - 3 x - 11 + 3 x \geq - 10$

Schritt 1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} - 3 x - 11 + 3 x$ .

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Schritt 1.2.1

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$4 x^{2} + 0 - 11 \geq - 10$

Schritt 1.2.2

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$4 x^{2} - 11 \geq - 10$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $11$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x^{2} \geq - 10 + 11$

Schritt 2.2

Addiere $- 10$ und $11$ .

$4 x^{2} \geq 1$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} \geq 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} \geq 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{1}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{1}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \geq \frac{1}{4}$

Schritt 4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$| x | \geq \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| x | \geq \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| x | \geq \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.2.1.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \frac{1}{| 2 |}$

Schritt 5.2.1.3.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| x | \geq \frac{1}{2}$

Schritt 6

Schreibe $| x | \geq \frac{1}{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 6.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 6.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq \frac{1}{2}$

Schritt 6.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 6.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq \frac{1}{2}$

Schritt 6.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} & x \geq 0 \\ - x \geq \frac{1}{2} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 7

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq \frac{1}{2}$ und $x \geq 0$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq \frac{1}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Term in $- x \geq \frac{1}{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\frac{1}{2}}{- 1}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\frac{1}{2}}{- 1}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{\frac{1}{2}}{- 1}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{2}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{1}{2}$ als $- \frac{1}{2}$ um.

$x \leq - \frac{1}{2}$

Schritt 9

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - \frac{1}{2}$ oder $x \geq \frac{1}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - \frac{1}{2} or x \geq \frac{1}{2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 11