Algebra Beispiele

$(\frac{1}{3} x - \frac{5}{6} y) (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{5} y)$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$(\frac{x}{3} - \frac{5}{6} y) (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{5} y)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $y$ und $\frac{5}{6}$ .

$(\frac{x}{3} - \frac{y \cdot 5}{6}) (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{5} y)$

Schritt 1.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y$ .

$(\frac{x}{3} - \frac{5 y}{6}) (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{5} y)$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{x}{3} - \frac{5 y}{6}) (- \frac{x}{2} + \frac{3}{5} y)$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $y$ .

$(\frac{x}{3} - \frac{5 y}{6}) (- \frac{x}{2} + \frac{3 y}{5})$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{x}{3} - \frac{5 y}{6}) (- \frac{x}{2} + \frac{3 y}{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x}{3} (- \frac{x}{2} + \frac{3 y}{5}) - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2} + \frac{3 y}{5})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x}{3} (- \frac{x}{2}) + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2} + \frac{3 y}{5})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x}{3} (- \frac{x}{2}) + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{x}{3}$ .

$- \frac{x \cdot x}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{1} x}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 (y)}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{3} \cdot \frac{3 y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{2}}{6} + x \frac{y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{y}{5}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} - \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2}) - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $- \frac{5 y}{6} (- \frac{x}{2})$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + 1 \frac{5 y}{6} \frac{x}{2} - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{5 y}{6}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y}{6} \cdot \frac{x}{2} - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.5.3

Mutltipliziere $\frac{5 y}{6}$ mit $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{6 \cdot 2} - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.5.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} - \frac{5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 y}{6}$ in den Zähler.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- 5 y}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y$ heraus.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{5 (- y)}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{5 (- y)}{6} \cdot \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y}{6} (3 y)$

Schritt 3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y}{3 (2)} (3 y)$

Schritt 3.1.7.2

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y}{3 (2)} (3 (y))$

Schritt 3.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y}{3 \cdot 2} (3 y)$

Schritt 3.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y}{2} y$

Schritt 3.1.8

Kombiniere $\frac{- y}{2}$ und $y$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y \cdot y}{2}$

Schritt 3.1.9

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- (y^{1} y)}{2}$

Schritt 3.1.10

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- (y^{1} y^{1})}{2}$

Schritt 3.1.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y^{1 + 1}}{2}$

Schritt 3.1.12

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} + \frac{- y^{2}}{2}$

Schritt 3.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 y x}{12} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.2

Addiere $\frac{x y}{5}$ und $\frac{5 y x}{12}$ .

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Schritt 3.2.1

Bewege $y$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} + \frac{5 x y}{12} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.2.2

Um $\frac{x y}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} \cdot \frac{12}{12} + \frac{5 x y}{12} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.2.3

Um $\frac{5 x y}{12}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y}{5} \cdot \frac{12}{12} + \frac{5 x y}{12} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $60$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{x y}{5}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y \cdot 12}{5 \cdot 12} + \frac{5 x y}{12} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $12$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y \cdot 12}{60} + \frac{5 x y}{12} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{5 x y}{12}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y \cdot 12}{60} + \frac{5 x y \cdot 5}{12 \cdot 5} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.2.4.4

Mutltipliziere $12$ mit $5$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y \cdot 12}{60} + \frac{5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x^{2}}{6} + \frac{x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.3

Um $- \frac{x^{2}}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} \cdot \frac{10}{10} + \frac{x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $60$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{6}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 10}{6 \cdot 10} + \frac{x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 10}{60} + \frac{x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} \cdot 10 + x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3.6

Um $- \frac{y^{2}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{30}{30}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 10 + x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{30}{30}$

Schritt 3.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $60$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2}$ mit $\frac{30}{30}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 10 + x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2} \cdot 30}{2 \cdot 30}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $30$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 10 + x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5}{60} - \frac{y^{2} \cdot 30}{60}$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} \cdot 10 + x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5 - y^{2} \cdot 30}{60}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{- 10 x^{2} + x y \cdot 12 + 5 x y \cdot 5 - y^{2} \cdot 30}{60}$

Schritt 4.2

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x y$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 12 \cdot (x y) + 5 x y \cdot 5 - y^{2} \cdot 30}{60}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 12 x y + 25 x y - y^{2} \cdot 30}{60}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $30$ mit $- 1$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 12 x y + 25 x y - 30 y^{2}}{60}$

Schritt 4.5

Addiere $12 x y$ und $25 x y$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 37 x y - 30 y^{2}}{60}$

Schritt 4.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 10 \cdot - 30 = 300$ und deren Summe gleich $b = 37$ ist.

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Schritt 4.6.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 10 x^{2} - 30 y^{2} + 37 x y}{60}$

Schritt 4.6.1.2

Stelle $- 30 y^{2}$ und $37 x y$ um.

$\frac{- 10 x^{2} + 37 x y - 30 y^{2}}{60}$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere $37$ aus $37 x y$ heraus.

$\frac{- 10 x^{2} + 37 (x y) - 30 y^{2}}{60}$

Schritt 4.6.1.4

Schreibe $37$ um als $12$ plus $25$

$\frac{- 10 x^{2} + (12 + 25) (x y) - 30 y^{2}}{60}$

Schritt 4.6.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 10 x^{2} + 12 (x y) + 25 (x y) - 30 y^{2}}{60}$

Schritt 4.6.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{- 10 x^{2} + 12 x y + 25 x y - 30 y^{2}}{60}$

Schritt 4.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 10 x^{2} + 12 x y) + 25 x y - 30 y^{2}}{60}$

Schritt 4.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (- 5 x + 6 y) - 5 y (- 5 x + 6 y)}{60}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 5 x + 6 y$ .

$\frac{(- 5 x + 6 y) (2 x - 5 y)}{60}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{(- (5 x) + 6 y) (2 x - 5 y)}{60}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $6 y$ heraus.

$\frac{(- (5 x) - (- 6 y)) (2 x - 5 y)}{60}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - (- 6 y)$ heraus.

$\frac{- (5 x - 6 y) (2 x - 5 y)}{60}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $- (5 x - 6 y)$ als $- 1 (5 x - 6 y)$ um.

$\frac{- 1 (5 x - 6 y) (2 x - 5 y)}{60}$

Schritt 5.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(5 x - 6 y) (2 x - 5 y)}{60}$