Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}$ als Gleichung.

$y = \frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{6 \sqrt[3]{y} + 1}{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{6 \sqrt[3]{y} + 1}{5} = x$ um.

$\frac{6 \sqrt[3]{y} + 1}{5} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $5$ .

$\frac{6 \sqrt[3]{y} + 1}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \sqrt[3]{y} + 1}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 \sqrt[3]{y} + 1 = x \cdot 5$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 \sqrt[3]{y} + 1 = 5 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sqrt[3]{y} = 5 x - 1$

Schritt 3.4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(6 \sqrt[3]{y})}^{3} = {(5 x - 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y}$ als $y^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(6 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(5 x - 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Vereinfache ${(6 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $6 y^{\frac{1}{3}}$ an.

$6^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(5 x - 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$216 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(5 x - 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(5 x - 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$216 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(5 x - 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$216 y^{1} = {(5 x - 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.2.1.4

Vereinfache.

$216 y = {(5 x - 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Vereinfache ${(5 x - 1)}^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$216 y = {(5 x)}^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (5 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.3.1.2.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$216 y = 5^{3} x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (5 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.3.1.2.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$216 y = 125 x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (5 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.3.1.2.3

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$216 y = 125 x^{3} + 3 (5^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (5 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.3.1.2.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$216 y = 125 x^{3} + 3 (25 x^{2}) \cdot - 1 + 3 (5 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.3.1.2.5

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$216 y = 125 x^{3} + 75 x^{2} \cdot - 1 + 3 (5 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.3.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $75$ .

$216 y = 125 x^{3} - 75 x^{2} + 3 (5 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.3.1.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$216 y = 125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.3.1.2.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$216 y = 125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.3.1.2.9

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$216 y = 125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x + {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.4.3.3.1.2.10

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$216 y = 125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x - 1$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $216 y = 125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x - 1$ durch $216$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $216 y = 125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x - 1$ durch $216$ .

$\frac{216 y}{216} = \frac{125 x^{3}}{216} + \frac{- 75 x^{2}}{216} + \frac{15 x}{216} + \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $216$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{216 y}{216} = \frac{125 x^{3}}{216} + \frac{- 75 x^{2}}{216} + \frac{15 x}{216} + \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{125 x^{3}}{216} + \frac{- 75 x^{2}}{216} + \frac{15 x}{216} + \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 75$ und $216$ .

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Schritt 3.4.4.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 75 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{125 x^{3}}{216} + \frac{3 (- 25 x^{2})}{216} + \frac{15 x}{216} + \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.4.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$y = \frac{125 x^{3}}{216} + \frac{3 (- 25 x^{2})}{3 (72)} + \frac{15 x}{216} + \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.4.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{125 x^{3}}{216} + \frac{3 (- 25 x^{2})}{3 \cdot 72} + \frac{15 x}{216} + \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.4.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{125 x^{3}}{216} + \frac{- 25 x^{2}}{72} + \frac{15 x}{216} + \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.4.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{15 x}{216} + \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.4.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $216$ .

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Schritt 3.4.4.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $15 x$ heraus.

$y = \frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{3 (5 x)}{216} + \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.4.4.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.3.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$y = \frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{3 (5 x)}{3 (72)} + \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.4.4.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{3 (5 x)}{3 \cdot 72} + \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.4.4.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} + \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.4.4.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} - \frac{25 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{2}}{72} + \frac{5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72} - \frac{1}{216}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 25 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{2} + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}$ an.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 25 \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{2}}{5^{2}} + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 25 \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{2}}{25} + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.2.3.2.3.1

Faktorisiere $25$ aus $- 25$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{25 (- 1) (\frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{2}}{25}) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{25 \cdot (- 1 \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{2}}{25}) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 {(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{2} + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.4

Schreibe ${(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{2}$ als $(6 \sqrt[3]{x} + 1) (6 \sqrt[3]{x} + 1)$ um.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 ((6 \sqrt[3]{x} + 1) (6 \sqrt[3]{x} + 1)) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.5

Multipliziere $(6 \sqrt[3]{x} + 1) (6 \sqrt[3]{x} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 (6 \sqrt[3]{x} (6 \sqrt[3]{x} + 1) + 1 (6 \sqrt[3]{x} + 1)) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 (6 \sqrt[3]{x} (6 \sqrt[3]{x}) + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x} + 1)) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 5.2.3.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.6.1.1

Multipliziere $6 \sqrt[3]{x} (6 \sqrt[3]{x})$ .

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Schritt 5.2.3.2.6.1.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 (36 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.6.1.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 (36 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.6.1.1.3

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.2.6.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 (36 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.6.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 (36 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.6.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.6.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.6.1.4

Mutltipliziere $6 \sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + 1 \cdot 1) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.6.1.5

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.2.6.2

Addiere $6 \sqrt[3]{x}$ und $6 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 12 \sqrt[3]{x} + 1) + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 1 (36 \sqrt[3]{x^{2}}) - 1 (12 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot 1 + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.8

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.2.8.1

Mutltipliziere $36$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 1 (12 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot 1 + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.8.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} - 1 \cdot 1 + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} - 1 + 5 (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}{72}$

Schritt 5.2.3.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} - 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1}{72}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} - 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 0 + 6 \sqrt[3]{x}}{72}$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Addiere $- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x}}{72}$

Schritt 5.2.3.3.2

Addiere $- 12 \sqrt[3]{x}$ und $6 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 {(\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5})}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x}}{72}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}$ an.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 (\frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{5^{3}})}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x}}{72}$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{125 (\frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{125})}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x}}{72}$

Schritt 5.2.3.4.2

Kombiniere $125$ und $\frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{125}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{\frac{125 {(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{125}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x}}{72}$

Schritt 5.2.3.4.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{125 {(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{125}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{\frac{125 {(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{125}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x}}{72}$

Schritt 5.2.3.4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{\frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{1}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x}}{72}$

Schritt 5.2.3.4.3.2

Dividiere ${(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} + \frac{- 1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x}}{72}$

Schritt 5.2.3.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x}}{72}$

Schritt 5.2.3.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x}$ und $72$ .

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Schritt 5.2.3.4.5.1

Faktorisiere $6$ aus $- 36 \sqrt[3]{x^{2}}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{6 (- 6 \sqrt[3]{x^{2}}) - 6 \sqrt[3]{x}}{72}$

Schritt 5.2.3.4.5.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 \sqrt[3]{x}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{6 (- 6 \sqrt[3]{x^{2}}) + 6 (- \sqrt[3]{x})}{72}$

Schritt 5.2.3.4.5.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (- 6 \sqrt[3]{x^{2}}) + 6 (- \sqrt[3]{x})$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{6 (- 6 \sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x})}{72}$

Schritt 5.2.3.4.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.5.4.1

Faktorisiere $6$ aus $72$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{6 (- 6 \sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x})}{6 (12)}$

Schritt 5.2.3.4.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{6 (- 6 \sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x})}{6 \cdot 12}$

Schritt 5.2.3.4.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{- 6 \sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x}}{12}$

Schritt 5.2.3.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.4.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 \sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x}$ heraus.

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Schritt 5.2.3.4.6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 \sqrt[3]{x^{2}}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{- (6 \sqrt[3]{x^{2}}) - \sqrt[3]{x}}{12}$

Schritt 5.2.3.4.6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt[3]{x}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{- (6 \sqrt[3]{x^{2}}) - (\sqrt[3]{x})}{12}$

Schritt 5.2.3.4.6.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (6 \sqrt[3]{x^{2}}) - (\sqrt[3]{x})$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{- (6 \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x})}{12}$

Schritt 5.2.3.4.6.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{- (6 x^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{x})}{12}$

Schritt 5.2.3.4.6.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{- (6 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}})}{12}$

Schritt 5.2.3.4.6.4

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $6 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

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Schritt 5.2.3.4.6.4.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $6 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{- (x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}})}{12}$

Schritt 5.2.3.4.6.4.2

Multipliziere mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{- (x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.4.6.4.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{- (x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{12}$

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} + \frac{- x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3}}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3} - 1}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.6.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{{(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{3} - 1^{3}}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 6 \sqrt[3]{x} + 1$ und $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{(6 \sqrt[3]{x} + 1 - 1) ({(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{2} + (6 \sqrt[3]{x} + 1) \cdot 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.6.1.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{(6 \sqrt[3]{x} + 0) ({(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{2} + (6 \sqrt[3]{x} + 1) \cdot 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.3.2

Addiere $6 \sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} ({(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{2} + (6 \sqrt[3]{x} + 1) \cdot 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.3.3

Mutltipliziere $6 \sqrt[3]{x} + 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} ({(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{2} + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.6.1.4.1

Schreibe ${(6 \sqrt[3]{x} + 1)}^{2}$ als $(6 \sqrt[3]{x} + 1) (6 \sqrt[3]{x} + 1)$ um.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} ((6 \sqrt[3]{x} + 1) (6 \sqrt[3]{x} + 1) + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.2

Multipliziere $(6 \sqrt[3]{x} + 1) (6 \sqrt[3]{x} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.6.1.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (6 \sqrt[3]{x} (6 \sqrt[3]{x} + 1) + 1 (6 \sqrt[3]{x} + 1) + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (6 \sqrt[3]{x} (6 \sqrt[3]{x}) + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x} + 1) + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (6 \sqrt[3]{x} (6 \sqrt[3]{x}) + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.1

Multipliziere $6 \sqrt[3]{x} (6 \sqrt[3]{x})$ .

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Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} + 1 (6 \sqrt[3]{x}) + 1 \cdot 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.4

Mutltipliziere $6 \sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + 1 \cdot 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.1.5

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.3.2

Addiere $6 \sqrt[3]{x}$ und $6 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 12 \sqrt[3]{x} + 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1^{2})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 12 \sqrt[3]{x} + 1 + 6 \sqrt[3]{x} + 1 + 1)}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.5

Addiere $12 \sqrt[3]{x}$ und $6 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 1 + 18 \sqrt[3]{x} + 1 + 1)}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 + 18 \sqrt[3]{x} + 1)}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.7

Addiere $2$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (36 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 + 18 \sqrt[3]{x})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.8

Faktorisiere $3$ aus $36 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 + 18 \sqrt[3]{x}$ heraus.

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Schritt 5.2.3.6.1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $36 \sqrt[3]{x^{2}}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (3 (12 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 + 18 \sqrt[3]{x})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.8.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (3 (12 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (1) + 18 \sqrt[3]{x})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.8.3

Faktorisiere $3$ aus $18 \sqrt[3]{x}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (3 (12 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (1) + 3 (6 \sqrt[3]{x}))}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.8.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (12 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (3 (12 \sqrt[3]{x^{2}} + 1) + 3 (6 \sqrt[3]{x}))}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.8.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (12 \sqrt[3]{x^{2}} + 1) + 3 (6 \sqrt[3]{x})$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} (3 (12 \sqrt[3]{x^{2}} + 1 + 6 \sqrt[3]{x}))}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{6 \sqrt[3]{x} \cdot (3 (12 \sqrt[3]{x^{2}} + 1 + 6 \sqrt[3]{x}))}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{18 \sqrt[3]{x} (12 \sqrt[3]{x^{2}} + 1 + 6 \sqrt[3]{x})}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $216$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.6.2.1

Faktorisiere $18$ aus $18 \sqrt[3]{x} (12 \sqrt[3]{x^{2}} + 1 + 6 \sqrt[3]{x})$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{18 (\sqrt[3]{x} (12 \sqrt[3]{x^{2}} + 1 + 6 \sqrt[3]{x}))}{216} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.6.2.2.1

Faktorisiere $18$ aus $216$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{18 (\sqrt[3]{x} (12 \sqrt[3]{x^{2}} + 1 + 6 \sqrt[3]{x}))}{18 \cdot 12} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{18 (\sqrt[3]{x} (12 \sqrt[3]{x^{2}} + 1 + 6 \sqrt[3]{x}))}{18 \cdot 12} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{\sqrt[3]{x} (12 \sqrt[3]{x^{2}} + 1 + 6 \sqrt[3]{x})}{12} - \frac{x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{\sqrt[3]{x} (12 \sqrt[3]{x^{2}} + 1 + 6 \sqrt[3]{x}) - x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (12 \sqrt[3]{x^{2}} + 1 + 6 \sqrt[3]{x}) - x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (12 x^{\frac{2}{3}} + 1 + 6 \sqrt[3]{x}) - x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.4.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (12 x^{\frac{2}{3}} + 1 + 6 x^{\frac{1}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{12}$

Schritt 5.2.4.4

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (12 x^{\frac{2}{3}} + 1 + 6 x^{\frac{1}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.4.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $- x^{\frac{1}{3}} (6 x^{\frac{1}{3}} + 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (12 x^{\frac{2}{3}} + 1 + 6 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- (6 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{12}$

Schritt 5.2.4.4.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (12 x^{\frac{2}{3}} + 1 + 6 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- (6 x^{\frac{1}{3}} + 1))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (12 x^{\frac{2}{3}} + 1 + 6 x^{\frac{1}{3}} - (6 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{12}$

Schritt 5.2.4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (12 x^{\frac{2}{3}} + 1 + 6 x^{\frac{1}{3}} - (6 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot 1)}{12}$

Schritt 5.2.4.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (12 x^{\frac{2}{3}} + 1 + 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 1)}{12}$

Schritt 5.2.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (12 x^{\frac{2}{3}} + 1 + 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{12}$

Schritt 5.2.4.8

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 0)}{12}$

Schritt 5.2.4.9

Addiere $12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}})}{12}$

Schritt 5.2.4.10

Subtrahiere $6 x^{\frac{1}{3}}$ von $6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (12 x^{\frac{2}{3}} + 0)}{12}$

Schritt 5.2.4.11

Addiere $12 x^{\frac{2}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot (12 x^{\frac{2}{3}})}{12}$

Schritt 5.2.4.12

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.4.12.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.4.12.1.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} \cdot 12}{12}$

Schritt 5.2.4.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 12}{12}$

Schritt 5.2.4.12.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 12}{12}$

Schritt 5.2.4.12.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x^{\frac{3}{3}} \cdot 12}{12}$

Schritt 5.2.4.12.1.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x \cdot 12}{12}$

Schritt 5.2.4.12.2

Vereinfache $x^{1} \cdot 12$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x \cdot 12}{12}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = \frac{x \cdot 12}{12}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 \sqrt[3]{\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}}$ als ${(\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.2.1

Um $- \frac{25 x^{2}}{72}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $216$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{25 x^{2}}{72}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2} \cdot 3}{72 \cdot 3} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Mutltipliziere $72$ mit $3$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2} \cdot 3}{216} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{125 x^{3} - 25 x^{2} \cdot 3}{216} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.4.1

Faktorisiere $25 x^{2}$ aus $125 x^{3} - 25 x^{2} \cdot 3$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.4.1.1

Faktorisiere $25 x^{2}$ aus $125 x^{3}$ heraus.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{25 x^{2} (5 x) - 25 x^{2} \cdot 3}{216} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.4.1.2

Faktorisiere $25 x^{2}$ aus $- 25 x^{2} \cdot 3$ heraus.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{25 x^{2} (5 x) + 25 x^{2} (- 1 \cdot 3)}{216} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.4.1.3

Faktorisiere $25 x^{2}$ aus $25 x^{2} (5 x) + 25 x^{2} (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{25 x^{2} (5 x - 1 \cdot 3)}{216} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{25 x^{2} (5 x - 3)}{216} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.5

Um $\frac{5 x}{72}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{25 x^{2} (5 x - 3)}{216} + \frac{5 x}{72} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $216$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{5 x}{72}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{25 x^{2} (5 x - 3)}{216} + \frac{5 x \cdot 3}{72 \cdot 3} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.6.2

Mutltipliziere $72$ mit $3$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{25 x^{2} (5 x - 3)}{216} + \frac{5 x \cdot 3}{216} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{25 x^{2} (5 x - 3) + 5 x \cdot 3}{216} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.8.1

Faktorisiere $5 x$ aus $25 x^{2} (5 x - 3) + 5 x \cdot 3$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.8.1.1

Faktorisiere $5 x$ aus $25 x^{2} (5 x - 3)$ heraus.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 x (5 x (5 x - 3)) + 5 x \cdot 3}{216} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.8.1.2

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x \cdot 3$ heraus.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 x (5 x (5 x - 3)) + 5 x (3)}{216} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.8.1.3

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (5 x (5 x - 3)) + 5 x (3)$ heraus.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 x (5 x (5 x - 3) + 3)}{216} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 x (5 x (5 x) + 5 x \cdot - 3 + 3)}{216} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.8.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 x (5 \cdot (5 x \cdot x) + 5 x \cdot - 3 + 3)}{216} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.8.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 x (5 \cdot (5 x \cdot x) - 15 x + 3)}{216} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.2.8.5.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.2.8.5.1.1

Bewege $x$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 x (5 \cdot (5 (x \cdot x)) - 15 x + 3)}{216} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.8.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 x (5 \cdot (5 x^{2}) - 15 x + 3)}{216} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.8.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 x (25 x^{2} - 15 x + 3)}{216} - \frac{1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 x (25 x^{2} - 15 x + 3) - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 x (25 x^{2}) + 5 x (- 15 x) + 5 x \cdot 3 - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.2.10.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 \cdot (25 x \cdot x^{2}) + 5 x (- 15 x) + 5 x \cdot 3 - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 \cdot (25 x \cdot x^{2}) + 5 \cdot (- 15 x \cdot x) + 5 x \cdot 3 - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 \cdot (25 x \cdot x^{2}) + 5 \cdot (- 15 x \cdot x) + 15 x - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.2.10.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.2.10.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 \cdot (25 (x^{2} x)) + 5 \cdot (- 15 x \cdot x) + 15 x - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.3.3.2.10.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 \cdot (25 (x^{2} x)) + 5 \cdot (- 15 x \cdot x) + 15 x - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 \cdot (25 x^{2 + 1}) + 5 \cdot (- 15 x \cdot x) + 15 x - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{5 \cdot (25 x^{3}) + 5 \cdot (- 15 x \cdot x) + 15 x - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{125 x^{3} + 5 \cdot (- 15 x \cdot x) + 15 x - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.3.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.2.10.3.3.1

Bewege $x$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{125 x^{3} + 5 \cdot (- 15 (x \cdot x)) + 15 x - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{125 x^{3} + 5 \cdot (- 15 x^{2}) + 15 x - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 15$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x - 1}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.4

Schreibe $125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.2.10.4.1

Faktorisiere $125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.3.3.2.10.4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.008, \pm 0.2, \pm 0.04$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.3

Setze $0.2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.3.3.2.10.4.1.3.1

Setze $0.2$ in das Polynom ein.

$125 \cdot {0.2}^{3} - 75 \cdot {0.2}^{2} + 15 \cdot 0.2 - 1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.3.2

Potenziere $0.2$ mit $3$ .

$125 \cdot 0.008 - 75 \cdot {0.2}^{2} + 15 \cdot 0.2 - 1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.3.3

Mutltipliziere $125$ mit $0.008$ .

$1 - 75 \cdot {0.2}^{2} + 15 \cdot 0.2 - 1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.3.4

Potenziere $0.2$ mit $2$ .

$1 - 75 \cdot 0.04 + 15 \cdot 0.2 - 1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.3.5

Mutltipliziere $- 75$ mit $0.04$ .

$1 - 3 + 15 \cdot 0.2 - 1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.3.6

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 + 15 \cdot 0.2 - 1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.3.7

Mutltipliziere $15$ mit $0.2$ .

$- 2 + 3 - 1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.3.8

Addiere $- 2$ und $3$ .

$1 - 1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.3.9

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.4

Da $0.2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $5 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x - 1}{5 x - 1}$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5

Dividiere $125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x - 1$ durch $5 x - 1$ .

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Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$5 x$

$1$

$125 x^{3}$

$75 x^{2}$

$15 x$

$1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $125 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

					$25 x^{2}$
	$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			+	$125 x^{3}$	-	$25 x^{2}$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $125 x^{3} - 25 x^{2}$

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			-	$125 x^{3}$	+	$25 x^{2}$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			-	$125 x^{3}$	+	$25 x^{2}$
					-	$50 x^{2}$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			-	$125 x^{3}$	+	$25 x^{2}$
					-	$50 x^{2}$	+	$15 x$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 50 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

				$25 x^{2}$	-	$10 x$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			-	$125 x^{3}$	+	$25 x^{2}$
					-	$50 x^{2}$	+	$15 x$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$25 x^{2}$	-	$10 x$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			-	$125 x^{3}$	+	$25 x^{2}$
					-	$50 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$10 x$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 50 x^{2} + 10 x$

				$25 x^{2}$	-	$10 x$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			-	$125 x^{3}$	+	$25 x^{2}$
					-	$50 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$50 x^{2}$	-	$10 x$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$25 x^{2}$	-	$10 x$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			-	$125 x^{3}$	+	$25 x^{2}$
					-	$50 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$50 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$5 x$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$25 x^{2}$	-	$10 x$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			-	$125 x^{3}$	+	$25 x^{2}$
					-	$50 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$50 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$5 x$	-	$1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

				$25 x^{2}$	-	$10 x$	+	$1$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			-	$125 x^{3}$	+	$25 x^{2}$
					-	$50 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$50 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$5 x$	-	$1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$25 x^{2}$	-	$10 x$	+	$1$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			-	$125 x^{3}$	+	$25 x^{2}$
					-	$50 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$50 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$5 x$	-	$1$
							+	$5 x$	-	$1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x - 1$

				$25 x^{2}$	-	$10 x$	+	$1$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			-	$125 x^{3}$	+	$25 x^{2}$
					-	$50 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$50 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$5 x$	-	$1$
							-	$5 x$	+	$1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$25 x^{2}$	-	$10 x$	+	$1$
$5 x$	-	$1$		$125 x^{3}$	-	$75 x^{2}$	+	$15 x$	-	$1$
			-	$125 x^{3}$	+	$25 x^{2}$
					-	$50 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$50 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$5 x$	-	$1$
							-	$5 x$	+	$1$
										$0$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$25 x^{2} - 10 x + 1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.1.6

Schreibe $125 x^{3} - 75 x^{2} + 15 x - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{(5 x - 1) (25 x^{2} - 10 x + 1)}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.4.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.3.2.10.4.2.1

Schreibe $25 x^{2}$ als ${(5 x)}^{2}$ um.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{(5 x - 1) ({(5 x)}^{2} - 10 x + 1)}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.4.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{(5 x - 1) ({(5 x)}^{2} - 10 x + 1^{2})}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.4.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot (5 x) \cdot 1$

Schritt 5.3.3.2.10.4.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{(5 x - 1) ({(5 x)}^{2} - 2 \cdot (5 x) \cdot 1 + 1^{2})}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.4.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 5 x$ und $b = 1$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{(5 x - 1) {(5 x - 1)}^{2}}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.4.3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 5.3.3.2.10.4.3.1

Potenziere $5 x - 1$ mit $1$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{(5 x - 1) {(5 x - 1)}^{2}}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{{(5 x - 1)}^{1 + 2}}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.10.4.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 {(\frac{{(5 x - 1)}^{3}}{216})}^{\frac{1}{3}} + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.11

Wende die Produktregel auf $\frac{{(5 x - 1)}^{3}}{216}$ an.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 (\frac{{({(5 x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{216^{\frac{1}{3}}}) + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.12.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 x - 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.3.3.2.12.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 (\frac{{(5 x - 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{216^{\frac{1}{3}}}) + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.12.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.12.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 (\frac{{(5 x - 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{216^{\frac{1}{3}}}) + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.12.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 (\frac{5 x - 1}{216^{\frac{1}{3}}}) + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.12.2

Vereinfache.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 (\frac{5 x - 1}{216^{\frac{1}{3}}}) + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.2.13.1

Schreibe $216$ als $6^{3}$ um.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 (\frac{5 x - 1}{{(6^{3})}^{\frac{1}{3}}}) + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 (\frac{5 x - 1}{6^{3 (\frac{1}{3})}}) + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.13.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 (\frac{5 x - 1}{6^{3 (\frac{1}{3})}}) + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.13.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 (\frac{5 x - 1}{6}) + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.13.4

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 (\frac{5 x - 1}{6}) + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.3.2.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{6 (\frac{5 x - 1}{6}) + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.2.14.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{5 x - 1 + 1}{5}$

Schritt 5.3.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Schritt 5.3.3.3.2

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{6 \sqrt[3]{x} + 1}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{125 x^{3}}{216} - \frac{25 x^{2}}{72} + \frac{5 x}{72} - \frac{1}{216}$