Algebra Beispiele

${(\frac{2}{3})}^{r - 8} = \frac{7}{4}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{r - 8}) = \ln (\frac{7}{4})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(\frac{2}{3})}^{r - 8})$ durch Herausziehen von $r - 8$ aus dem Logarithmus.

$(r - 8) \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{7}{4})$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (\frac{2}{3})$ als $\ln (2) - \ln (3)$ um.

$(r - 8) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln (\frac{7}{4})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(r - 8) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Schritt 3.1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(r - 8) \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{7}{4})$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r \ln (\frac{2}{3}) - 8 \ln (\frac{2}{3}) = \ln (\frac{7}{4})$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$r \ln (\frac{2}{3}) - 8 \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{7}{4}) = 0$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $r$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $8 \ln (\frac{2}{3})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r \ln (\frac{2}{3}) - \ln (\frac{7}{4}) = 8 \ln (\frac{2}{3})$

Schritt 5.2

Addiere $\ln (\frac{7}{4})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r \ln (\frac{2}{3}) = 8 \ln (\frac{2}{3}) + \ln (\frac{7}{4})$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $r \ln (\frac{2}{3}) = 8 \ln (\frac{2}{3}) + \ln (\frac{7}{4})$ durch $\ln (\frac{2}{3})$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $r \ln (\frac{2}{3}) = 8 \ln (\frac{2}{3}) + \ln (\frac{7}{4})$ durch $\ln (\frac{2}{3})$ .

$\frac{r \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{8 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} + \frac{\ln (\frac{7}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{8 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} + \frac{\ln (\frac{7}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{8 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} + \frac{\ln (\frac{7}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{8 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} + \frac{\ln (\frac{7}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 6.3.1.2

Dividiere $8$ durch $1$ .

$r = 8 + \frac{\ln (\frac{7}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$r = 8 + \frac{\ln (\frac{7}{4})}{\ln (\frac{2}{3})}$

Dezimalform:

$r = 6.61981764 \dots$