Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 3^{2}}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 1.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$f (x) = \frac{{(x + 3)}^{2}}{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (x) = \frac{{(x + 3)}^{2}}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$f (x) = \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 3)}^{2}$ und $x + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere $x + 3$ aus ${(x + 3)}^{2}$ heraus.

$f (x) = \frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$

Schritt 4

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x + 3$

Schritt 5

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $\frac{x + 3}{x - 3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5.3

Setze $- 3$ für $x$ in $\frac{x + 3}{x - 3}$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze $- 3$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{- 3 + 3}{- 3 - 3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3 + 3$ und $- 3 - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1) + 3}{- 3 - 3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1 + 3 \cdot 1}{- 3 - 3}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot - 1 + 3 \cdot 1$ heraus.

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{- 3 - 3}$

Schritt 5.3.2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 (- 1) - 3}$

Schritt 5.3.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.2.1.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 \cdot (- 1 - 1)}$

Schritt 5.3.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 \cdot (- 1 - 1)}$

Schritt 5.3.2.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 + 1}{- 1 - 1}$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{- 1 - 1}$

Schritt 5.3.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{0}{- 2}$

Schritt 5.3.2.4

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$0$

Schritt 5.4

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(- 3, 0)$

Schritt 6