Algebra Beispiele

$\frac{2 x}{x - 2} < 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2 x}{x - 2} - 3 < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{2 x}{x - 2} - 3$ .

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Schritt 2.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2} < 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2} < 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x - 3 (x - 2)}{x - 2} < 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 3 x - 3 \cdot - 2}{x - 2} < 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x - 3 x + 6}{x - 2} < 0$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$\frac{- x + 6}{x - 2} < 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + 6}{x - 2} < 0$

Schritt 2.6

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (- 6)}{x - 2} < 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 6)$ heraus.

$\frac{- (x - 6)}{x - 2} < 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- (x - 6)$ als $- 1 (x - 6)$ um.

$\frac{- 1 (x - 6)}{x - 2} < 0$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 6}{x - 2} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 5

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 6$

$x = 2$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 6, 2$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x - 6}{x - 2}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 6}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0)}{(0) - 2} < 3$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (4)}{(4) - 2} < 3$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $4$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (8)}{(8) - 2} < 3$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $2.\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Wahr

$2 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < 2$ Wahr

$2 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 2$ oder $x > 6$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < 2 or x > 6$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (6, \infty)$

Schritt 13