Algebra Beispiele

${(\frac{1}{16})}^{x + 7} \cdot 64^{x + 5} = {(\frac{1}{32})}^{4}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7} \cdot 64^{x + 5}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7} \cdot 64^{x + 5})$ als $\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7}) + \ln (64^{x + 5})$ um.

$\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7}) + \ln (64^{x + 5}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7})$ durch Herausziehen von $x + 7$ aus dem Logarithmus.

$(x + 7) \ln (\frac{1}{16}) + \ln (64^{x + 5}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (64^{x + 5})$ durch Herausziehen von $x + 5$ aus dem Logarithmus.

$(x + 7) \ln (\frac{1}{16}) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 2.4

Schreibe $\ln (\frac{1}{16})$ als $\ln (1) - \ln (16)$ um.

$(x + 7) (\ln (1) - \ln (16)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 2.5

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$(x + 7) (0 - \ln (16)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 2.6

Schreibe $\ln (16)$ als $\ln (2^{4})$ um.

$(x + 7) (0 - \ln (2^{4})) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 2.7

Zerlege $\ln (2^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$(x + 7) (0 - (4 \ln (2))) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(x + 7) (0 - 4 \ln (2)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 2.9

Subtrahiere $4 \ln (2)$ von $0$ .

$(x + 7) (- 4 \ln (2)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(x + 7) (- 4 \ln (2)) + (x + 5) \ln (64)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- 4 \ln (2)) + 7 (- 4 \ln (2)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x (- 4 \ln (2)) - 28 \ln (2) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- 4 \ln (2)) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 3.1.2

Stelle die Faktoren in $x (- 4 \ln (2)) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64)$ um.

$- 4 x \ln (2) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$ .

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{32}$ an.

$- 4 x \ln (2) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln (\frac{1^{4}}{32^{4}})$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 4 x \ln (2) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln (\frac{1}{32^{4}})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $32$ mit $4$ .

$- 4 x \ln (2) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln (\frac{1}{1048576})$

Schritt 5

Bewege $- 28 \ln (2)$ .

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) - 28 \ln (2) + 5 \ln (64) = \ln (\frac{1}{1048576})$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) - 28 \ln (2) + 5 \ln (64) - \ln (\frac{1}{1048576}) = 0$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Addiere $28 \ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) - \ln (\frac{1}{1048576}) = 28 \ln (2)$

Schritt 7.2

Subtrahiere $5 \ln (64)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) - \ln (\frac{1}{1048576}) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64)$

Schritt 7.3

Addiere $\ln (\frac{1}{1048576})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$

Schritt 8

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x \ln (2) + x \ln (64)$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x \ln (2)$ heraus.

$x (- 4 \ln (2)) + x \ln (64) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (64)$ heraus.

$x (- 4 \ln (2)) + x (\ln (64)) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$

Schritt 8.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 \ln (2)) + x (\ln (64))$ heraus.

$x (- 4 \ln (2) + \ln (64)) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $x (- 4 \ln (2) + \ln (64)) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$ durch $- 4 \ln (2) + \ln (64)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- 4 \ln (2) + \ln (64)) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$ durch $- 4 \ln (2) + \ln (64)$ .

$\frac{x (- 4 \ln (2) + \ln (64))}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} = \frac{28 \ln (2)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{- 5 \ln (64)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{\ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4 \ln (2) + \ln (64)$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{28 \ln (2)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{- 5 \ln (64)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{\ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{28 \ln (2)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} - \frac{5 \ln (64)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{\ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Schritt 9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{\ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Schritt 9.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Schritt 9.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- (4 \ln (2)) + \ln (64)}$

Schritt 9.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (64)$ heraus.

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- (4 \ln (2)) - 1 (- \ln (64))}$

Schritt 9.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 \ln (2)) - 1 (- \ln (64))$ heraus.

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- (4 \ln (2) - \ln (64))}$

Schritt 9.3.7

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 9.3.7.1

Schreibe $- (4 \ln (2) - \ln (64))$ als $- 1 (4 \ln (2) - \ln (64))$ um.

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- 1 (4 \ln (2) - \ln (64))}$

Schritt 9.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{4 \ln (2) - \ln (64)}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{4 \ln (2) - \ln (64)}$

Dezimalform:

$x = - 11$