Algebra Beispiele

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$

Schritt 1

Ersetze $<$ durch $=$ in $| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$ .

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | = 5 | x - 1 |$

Schritt 2

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Schritt 3

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Schritt 4

Löse $(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $(- 2 x + 9) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Schritt 4.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Schritt 4.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Schritt 4.1.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Schritt 4.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Schritt 4.1.4.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = 5 (x - 1)$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $2 x$ und $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 (x - 1)$

Schritt 4.2

Vereinfache $5 (x - 1)$ .

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x - 5$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 - 5 x = - 5$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $11 x$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 = - 5$

Schritt 4.4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 + 5 = 0$

Schritt 4.5

Addiere $- 9$ und $5$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Schritt 4.6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2} + 6 x - 4$ heraus.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Schritt 4.6.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $6 x$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 4 = 0$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 4.6.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 4.6.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (2)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.6.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 4.6.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Schritt 4.6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$

Schritt 4.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.8

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.8.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.9

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.9.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.9.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, 1$

Schritt 5

Löse $(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $(- 2 x + 9) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Schritt 5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Schritt 5.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Schritt 5.1.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Schritt 5.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Schritt 5.1.4.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $2 x$ und $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Schritt 5.2

Vereinfache $- 5 (x - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x - 5 \cdot - 1$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x + 5$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Addiere $5 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 + 5 x = 5$

Schritt 5.3.2

Addiere $11 x$ und $5 x$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 = 5$

Schritt 5.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 - 5 = 0$

Schritt 5.5

Subtrahiere $5$ von $- 9$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Schritt 5.6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2} + 16 x - 14$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Schritt 5.6.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $16 x$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 14 = 0$

Schritt 5.6.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 14$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Schritt 5.6.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2}) - 2 (- 8 x)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Schritt 5.6.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 (7)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 8 x + 7) = 0$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $7$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 7, - 1$

Schritt 5.6.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 ((x - 7) (x - 1)) = 0$

Schritt 5.6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$

Schritt 5.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5.8

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 5.8.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 5.9

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.9.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 7, 1$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$x = 2, 1, 7, 1$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (- 2 \cdot 0 + 9) ((0) - 1) | < 5 | (0) - 1 |$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $9$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.5$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $1.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (- 2 \cdot 1.5 + 9) ((1.5) - 1) | < 5 | (1.5) - 1 |$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $3$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $2.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (- 2 \cdot 4 + 9) ((4) - 1) | < 5 | (4) - 1 |$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $3$ ist kleiner als die rechte Seite $15$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 8.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (- 2 \cdot 10 + 9) ((10) - 1) | < 5 | (10) - 1 |$

Schritt 8.4.3

Die linke Seite $99$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $45$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1$ Falsch

$1 < x < 2$ Falsch

$2 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < 1$ Falsch

$1 < x < 2$ Falsch

$2 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 < x < 7$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$2 < x < 7$

Intervallschreibweise:

$(2, 7)$

Schritt 11