Algebra Beispiele

$f (x) = x^{5} - 7 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{5} - 7 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{5} - 7 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} = 0$ um.

$x^{5} - 7 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5} - 7 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{2} x^{3} - 7 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 7 x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 7 x^{2}) + x^{3} - 7 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 7 x^{2}) + x^{2} x - 7 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 7 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 7 x^{2}) + x^{2} x + x^{2} \cdot - 7 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{3} + x^{2} (- 7 x^{2})$ heraus.

$x^{2} (x^{3} - 7 x^{2}) + x^{2} x + x^{2} \cdot - 7 = 0$

Schritt 1.2.2.1.6

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{3} - 7 x^{2}) + x^{2} x$ heraus.

$x^{2} (x^{3} - 7 x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 7 = 0$

Schritt 1.2.2.1.7

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{3} - 7 x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 7$ heraus.

$x^{2} (x^{3} - 7 x^{2} + x - 7) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{2} ((x^{3} - 7 x^{2}) + x - 7) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x^{2} (x - 7) + 1 (x - 7)) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.3.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 7$ .

$x^{2} ((x - 7) (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x - 7) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 1.2.6

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 1.2.6.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 1.2.6.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 1.2.6.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 1.2.6.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x - 7) (x^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 7, i, - i$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (7, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{5} - 7 {(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{5} - 7 {(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{5} - 7 \cdot 0^{4} + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 0^{5} - 7 \cdot 0^{4} + 0^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = 0^{5} - 7 \cdot 0^{4} + 0^{3} - 7 \cdot 0^{2}$

Schritt 2.2.5

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{5} - 7 {(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache ${(0)}^{5} - 7 {(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 7 {(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.6.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 7 \cdot 0 + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.6.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 7 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.6.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 7 \cdot 0$

Schritt 2.2.6.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0$

Schritt 2.2.6.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.6.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Schritt 2.2.6.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.6.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (7, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4