Algebra Beispiele

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $x + 2 \sqrt{x - 1} = y$ um.

$x + 2 \sqrt{x - 1} = y$

Schritt 2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{x - 1} = y - x$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x - 1)}^{1} = {(y - x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x - 1) = {(y - x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot - 1 = {(y - x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 x - 4 = {(y - x)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(y - x)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(y - x)}^{2}$ als $(y - x) (y - x)$ um.

$4 x - 4 = (y - x) (y - x)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(y - x) (y - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x - 4 = y (y - x) - x (y - x)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x (y - x)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x y - x (- x)$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} + y (- x) - x y - x (- x)$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - x (- x)$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Schritt 4.3.1.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Schritt 4.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Schritt 4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + 1 x^{2}$

Schritt 4.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + x^{2}$

Schritt 4.3.1.3.2

Subtrahiere $x y$ von $- y x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.2.1

Bewege $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - x y - x y + x^{2}$

Schritt 4.3.1.3.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - 2 x y + x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} = 4 x - 4$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x = - 4$

Schritt 5.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Schritt 5.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 y - 4$ und $c = y^{2} + 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- (- 2 y - 4) \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- (- 2 y) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.4

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5

Es sei $u = 1 \cdot (y^{2} + 4)$ . Ersetze $u$ für alle $1 \cdot (y^{2} + 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.5.1

Schreibe ${(- 2 y - 4)}^{2}$ als $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ um.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{(- 2 y - 4) (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5.2

Multipliziere $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 4) - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.5.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.5.3.2

Addiere $8 y$ und $8 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $16 y$ heraus.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{2}) + 4 (4 y)$ heraus.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4)$ heraus.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.7

Ersetze alle $u$ durch $1 \cdot (y^{2} + 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (1 \cdot (y^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.8.1.1

Mutltipliziere $y^{2} + 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.8.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.8.2.2

Addiere $4 y + 4$ und $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.8.2.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 0)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.8.2.4

Addiere $4 y$ und $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 y)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{16 y}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.10

Schreibe $16 y$ als ${(2^{2})}^{2} y$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.10.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.10.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 y + 4 \pm 2^{2} \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.1.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2}$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$