Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{2 x^{2} + 1} = - 2$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{2 x^{2} + 1}}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$ als ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x^{2} + 1)}^{1} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$2 x^{2} + 1 = {(- 2)}^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$2 x^{2} + 1 = - 8$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = - 8 - 1$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $1$ von $- 8$ .

$2 x^{2} = - 9$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 9$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 9$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{9}{2}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{9}{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{9}{2}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $- \frac{9}{2}$ als $i^{2} \frac{3^{2}}{2}$ um.

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Schritt 3.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{9}{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3^{2}}{2}}$

Schritt 3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3^{2}}{2}}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{9}{2}}$

Schritt 3.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{2}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 3.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i (3 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 3.4.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{3 i \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 i \sqrt{2}}{2}$