Algebra Beispiele

$\ln (\frac{1 + x y}{1 - x y}) - 2 x = c$

Schritt 1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (\frac{1 + x y}{1 - x y}) = c + 2 x$

Schritt 2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{1 + x y}{1 - x y})} = e^{c + 2 x}$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{1 + x y}{1 - x y}) = c + 2 x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{c + 2 x} = \frac{1 + x y}{1 - x y}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1 + x y}{1 - x y} = e^{c + 2 x}$ um.

$\frac{1 + x y}{1 - x y} = e^{c + 2 x}$

Schritt 4.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1 - x y, 1$

Schritt 4.2.2

Entferne die Klammern.

$1 - x y, 1$

Schritt 4.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$1 - x y$

Schritt 4.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1 + x y}{1 - x y} = e^{c + 2 x}$ mit $1 - x y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1 + x y}{1 - x y} = e^{c + 2 x}$ mit $1 - x y$ .

$\frac{1 + x y}{1 - x y} (1 - x y) = e^{c + 2 x} (1 - x y)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x y$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + x y}{1 - x y} (1 - x y) = e^{c + 2 x} (1 - x y)$

Schritt 4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + x y = e^{c + 2 x} (1 - x y)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + x y = e^{c + 2 x} \cdot 1 + e^{c + 2 x} (- x y)$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.3.2.1

Mutltipliziere $e^{c + 2 x}$ mit $1$ .

$1 + x y = e^{c + 2 x} + e^{c + 2 x} (- x y)$

Schritt 4.3.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 + x y = e^{c + 2 x} - e^{c + 2 x} (x y)$

Schritt 4.3.3.2.3

Stelle die Faktoren in $e^{c + 2 x} - e^{c + 2 x} (x y)$ um.

$1 + x y = e^{c + 2 x} - x y e^{c + 2 x}$

Schritt 4.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Addiere $x y e^{c + 2 x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1 + x y + x y e^{c + 2 x} = e^{c + 2 x}$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y + x y e^{c + 2 x} = e^{c + 2 x} - 1$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $x y$ aus $x y + x y e^{c + 2 x}$ heraus.

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Schritt 4.4.3.1

Faktorisiere $x y$ aus $x y$ heraus.

$x y (1) + x y e^{c + 2 x} = e^{c + 2 x} - 1$

Schritt 4.4.3.2

Faktorisiere $x y$ aus $x y e^{c + 2 x}$ heraus.

$x y (1) + x y (e^{c + 2 x}) = e^{c + 2 x} - 1$

Schritt 4.4.3.3

Faktorisiere $x y$ aus $x y (1) + x y (e^{c + 2 x})$ heraus.

$x y (1 + e^{c + 2 x}) = e^{c + 2 x} - 1$

Schritt 4.4.4

Teile jeden Ausdruck in $x y (1 + e^{c + 2 x}) = e^{c + 2 x} - 1$ durch $x (1 + e^{c + 2 x})$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x y (1 + e^{c + 2 x}) = e^{c + 2 x} - 1$ durch $x (1 + e^{c + 2 x})$ .

$\frac{x y (1 + e^{c + 2 x})}{x (1 + e^{c + 2 x})} = \frac{e^{c + 2 x}}{x (1 + e^{c + 2 x})} + \frac{- 1}{x (1 + e^{c + 2 x})}$

Schritt 4.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y (1 + e^{c + 2 x})}{x (1 + e^{c + 2 x})} = \frac{e^{c + 2 x}}{x (1 + e^{c + 2 x})} + \frac{- 1}{x (1 + e^{c + 2 x})}$

Schritt 4.4.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (1 + e^{c + 2 x})}{1 + e^{c + 2 x}} = \frac{e^{c + 2 x}}{x (1 + e^{c + 2 x})} + \frac{- 1}{x (1 + e^{c + 2 x})}$

Schritt 4.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{c + 2 x}$ .

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Schritt 4.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 + e^{c + 2 x})}{1 + e^{c + 2 x}} = \frac{e^{c + 2 x}}{x (1 + e^{c + 2 x})} + \frac{- 1}{x (1 + e^{c + 2 x})}$

Schritt 4.4.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{c + 2 x}}{x (1 + e^{c + 2 x})} + \frac{- 1}{x (1 + e^{c + 2 x})}$

Schritt 4.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{e^{c + 2 x} - 1}{x (1 + e^{c + 2 x})}$