Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 10 x + 24}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 11 x + 28} \div \frac{3 x^{2} - 147}{x^{2} - 49}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 10 x + 24}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 11 x + 28} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 10 x + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 6, - 4$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 11 x + 28} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + x - 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 42$ und deren Summe $1$ ist.

$- 6, 7$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 11 x + 28} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} - 7^{2}}{x^{2} - 11 x + 28} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} - 11 x + 28} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{2} - 11 x + 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $28$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 7, - 4$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{(x - 7) (x - 4)} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $(x - 6) (x - 4)$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x - 6)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{(x - 7) (x - 4)} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x - 4$ aus $(x - 7) (x - 4)$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x - 6)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{(x - 4) (x - 7)} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 4) (x - 6)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{(x - 4) (x - 7)} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 6}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x - 7} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x + 7$ aus $(x - 6) (x + 7)$ heraus.

$\frac{x - 6}{(x + 7) (x - 6)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x - 7} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 6}{(x + 7) (x - 6)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x - 7} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 6}{x - 6} \cdot \frac{x - 7}{x - 7} \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{x - 6}{x - 6}$ mit $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{(x - 6) (x - 7)}{(x - 6) (x - 7)} \cdot \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 6$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 6) (x - 7)}{(x - 6) (x - 7)} \cdot \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 7}{x - 7} \cdot \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 7}{x - 7} \cdot \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 49}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 7^{2}}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 9.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} - 147}$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 147$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 (x^{2}) - 147}$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 147$ heraus.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 49}$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 \cdot - 49$ heraus.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 (x^{2} - 49)}$

Schritt 10.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 (x^{2} - 7^{2})}$

Schritt 10.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 (x + 7) (x - 7)}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 11.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{3 (x + 7) (x - 7)}$

Schritt 11.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 7}{3 (x - 7)}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 7}{3 (x - 7)}$

Schritt 11.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$