Algebra Beispiele

$f (x) = {(x + 4)}^{2} (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache das Polynom, dann ordne es von links nach rechts neu an, beginnend mit dem Term höchsten Grades.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x + 4)}^{2}$ als $(x + 4) (x + 4)$ um.

$f (x) = (x + 4) (x + 4) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x (x + 4) + 4 (x + 4)) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (x) = (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$f (x) = (x^{2} + 8 x + 16) (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.4

Multipliziere $(x^{2} + 8 x + 16) (x + 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x) = (x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = (x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.5.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.5.1.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (x) = (x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.5.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.5.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.3.1

Bewege $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 8 x^{2} + 8 x \cdot 2 + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 8 x^{2} + 16 x + 16 x + 16 \cdot 2) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$f (x) = (x^{3} + 2 x^{2} + 8 x^{2} + 16 x + 16 x + 32) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.5.2.1

Addiere $2 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 16 x + 16 x + 32) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $16 x$ und $16 x$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.5.2.3

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) ((x - 2) (x - 2))$

Schritt 1.6

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Schritt 1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.7.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.7.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$f (x) = (x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} - 4 x + 4)$

Schritt 1.8

Multipliziere $(x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x^{2} - 4 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x \cdot 4 + 32 x^{2} + 32 (- 4 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.9.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x \cdot 4 + 32 x^{2} + 32 (- 4 x) + 32 \cdot 4$ .

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Schritt 1.9.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $32 x \cdot 4$ und $32 (- 4 x)$ neu an.

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 4 \cdot (32 x) + 32 x^{2} - 4 \cdot (32 x) + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.1.2

Subtrahiere $4 \cdot 32 x$ von $4 \cdot 32 x$ .

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 0 + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.1.3

Addiere $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2}$ und $0$ .

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.2.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.9.2.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{3 + 2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.1.2

Addiere $3$ und $2$ .

$f (x) = x^{5} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} x + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.9.2.3.1

Bewege $x$ .

$f (x) = x^{5} - 4 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.9.2.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = x^{5} - 4 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + x^{3} \cdot 4 + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x^{2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.9.2.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 (x^{2} x^{2}) + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{2 + 2} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 x^{2} (- 4 x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 x^{2} x) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.9.2.7.1

Bewege $x$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.9.2.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} + 10 \cdot (- 4 x^{3}) + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.8

Mutltipliziere $10$ mit $- 4$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x \cdot x^{2} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.10

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.9.2.10.1

Bewege $x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.10.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.9.2.10.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{2 + 1} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} + 32 x (- 4 x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} + 32 \cdot (- 4 x \cdot x) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.12

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.9.2.12.1

Bewege $x$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} + 32 \cdot (- 4 (x \cdot x)) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.12.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} + 32 \cdot (- 4 x^{2}) + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.13

Mutltipliziere $32$ mit $- 4$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 32 \cdot 4$

Schritt 1.9.2.14

Mutltipliziere $32$ mit $4$ .

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 10 x^{4} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Schritt 1.9.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.9.3.1

Addiere $- 4 x^{4}$ und $10 x^{4}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} + 4 x^{3} - 40 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Schritt 1.9.3.2

Subtrahiere $40 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} - 36 x^{3} + 40 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Schritt 1.9.3.3

Addiere $- 36 x^{3}$ und $32 x^{3}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} - 4 x^{3} + 40 x^{2} - 128 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Schritt 1.9.3.4

Subtrahiere $128 x^{2}$ von $40 x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} - 4 x^{3} - 88 x^{2} + 32 x^{2} + 128$

Schritt 1.9.3.5

Addiere $- 88 x^{2}$ und $32 x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} + 6 x^{4} - 4 x^{3} - 56 x^{2} + 128$

Schritt 2

Der Grad eines Polynoms ist der höchste Grad seiner Terme.

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Schritt 2.1

Identifiziere die Exponenten der Variablen in jedem Term und addiere sie, um den Grad der einzelnen Terms zu ermitteln.

$x^{5} \to 5$

$6 x^{4} \to 4$

$- 4 x^{3} \to 3$

$- 56 x^{2} \to 2$

$128 \to 0$

Schritt 2.2

Der größte Exponent ist der Grad des Polynoms.

$5$

Schritt 3

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{5}$

Schritt 4

Der Leitkoeffizient eines Polynoms ist der Koeffizient des Führungsterms.

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Schritt 4.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{5}$

Schritt 4.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$1$

Schritt 5

Führe die Ergebnisse auf.

Polynomgrad: $5$

Leitterm: $x^{5}$

Leitkoeffizient: $1$