Algebra Beispiele

$f (h) = h (h - 2) (2 h - 1)$

Schritt 1

Setze $h (h - 2) (2 h - 1)$ gleich $0$ .

$h (h - 2) (2 h - 1) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $h (h - 2) (2 h - 1)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(h \cdot h + h \cdot - 2) (2 h - 1) = 0$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.2.1

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$(h^{2} + h \cdot - 2) (2 h - 1) = 0$

Schritt 2.1.1.2.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $h$ .

$(h^{2} - 2 \cdot h) (2 h - 1) = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(h^{2} - 2 h) (2 h - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$h^{2} (2 h - 1) - 2 h (2 h - 1) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$h^{2} (2 h) + h^{2} \cdot - 1 - 2 h (2 h - 1) = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$h^{2} (2 h) + h^{2} \cdot - 1 - 2 h (2 h) - 2 h \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 h^{2} h + h^{2} \cdot - 1 - 2 h (2 h) - 2 h \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Multipliziere $h^{2}$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.2.1

Bewege $h$ .

$2 (h \cdot h^{2}) + h^{2} \cdot - 1 - 2 h (2 h) - 2 h \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $h$ mit $h^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.1.2.2.1

Potenziere $h$ mit $1$ .

$2 (h^{1} h^{2}) + h^{2} \cdot - 1 - 2 h (2 h) - 2 h \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 h^{1 + 2} + h^{2} \cdot - 1 - 2 h (2 h) - 2 h \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 h^{3} + h^{2} \cdot - 1 - 2 h (2 h) - 2 h \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $h^{2}$ .

$2 h^{3} - 1 \cdot h^{2} - 2 h (2 h) - 2 h \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3.1.4

Schreibe $- 1 h^{2}$ als $- h^{2}$ um.

$2 h^{3} - h^{2} - 2 h (2 h) - 2 h \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 h^{3} - h^{2} - 2 \cdot 2 h \cdot h - 2 h \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3.1.6

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.6.1

Bewege $h$ .

$2 h^{3} - h^{2} - 2 \cdot 2 (h \cdot h) - 2 h \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3.1.6.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$2 h^{3} - h^{2} - 2 \cdot 2 h^{2} - 2 h \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 h^{3} - h^{2} - 4 h^{2} - 2 h \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 h^{3} - h^{2} - 4 h^{2} + 2 h = 0$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $4 h^{2}$ von $- h^{2}$ .

$2 h^{3} - 5 h^{2} + 2 h = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $h$ aus $2 h^{3} - 5 h^{2} + 2 h$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $h$ aus $2 h^{3}$ heraus.

$h (2 h^{2}) - 5 h^{2} + 2 h = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $h$ aus $- 5 h^{2}$ heraus.

$h (2 h^{2}) + h (- 5 h) + 2 h = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $h$ aus $2 h$ heraus.

$h (2 h^{2}) + h (- 5 h) + h \cdot 2 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $h$ aus $h (2 h^{2}) + h (- 5 h)$ heraus.

$h (2 h^{2} - 5 h) + h \cdot 2 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $h$ aus $h (2 h^{2} - 5 h) + h \cdot 2$ heraus.

$h (2 h^{2} - 5 h + 2) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 h$ heraus.

$h (2 h^{2} - 5 h + 2) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 1$ plus $- 4$

$h (2 h^{2} + (- 1 - 4) h + 2) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$h (2 h^{2} - 1 h - 4 h + 2) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$h ((2 h^{2} - 1 h) - 4 h + 2) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$h (h (2 h - 1) - 2 (2 h - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 h - 1$ .

$h ((2 h - 1) (h - 2)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$h (2 h - 1) (h - 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$h = 0$

$2 h - 1 = 0$

$h - 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $h$ gleich $0$ .

$h = 0$

Schritt 2.5

Setze $2 h - 1$ gleich $0$ und löse nach $h$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $2 h - 1$ gleich $0$ .

$2 h - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $2 h - 1 = 0$ nach $h$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 h = 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 h = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 h = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 h}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 h}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $h$ durch $1$ .

$h = \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Setze $h - 2$ gleich $0$ und löse nach $h$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $h - 2$ gleich $0$ .

$h - 2 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$h = 2$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $h (2 h - 1) (h - 2) = 0$ wahr machen.

$h = 0, \frac{1}{2}, 2$

Schritt 3