Algebra Beispiele

$\frac{2 n + 1}{3 n + 1} \leq \frac{n - 1}{3 n + 1}$

Schritt 1

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$2 n + 1 \leq n - 1$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $n$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Subtrahiere $n$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 n + 1 - n \leq - 1$

Schritt 2.2

Subtrahiere $n$ von $2 n$ .

$n + 1 \leq - 1$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$n \leq - 1 - 1$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$n \leq - 2$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{n + 2}{3 n + 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{n + 2}{3 n + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 n + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $n$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 n = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 n = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 n = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 n}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 n}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{- 1}{3}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$n = - \frac{1}{3}$

Schritt 4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $n$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$n < - 2$

$- 2 < n < - \frac{1}{3}$

$n > - \frac{1}{3}$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $n < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $n < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$n = - 4$

Schritt 6.1.2

Ersetze $n$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 4) + 1}{3 (- 4) + 1} \leq \frac{(- 4) - 1}{3 (- 4) + 1}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $0.\overline{63}$ ist größer als die rechte Seite $0.\overline{45}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < n < - \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < n < - \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$n = - 1$

Schritt 6.2.2

Ersetze $n$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 1) + 1}{3 (- 1) + 1} \leq \frac{(- 1) - 1}{3 (- 1) + 1}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $0.5$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $n > - \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $n > - \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$n = 0$

Schritt 6.3.2

Ersetze $n$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0) + 1}{3 (0) + 1} \leq \frac{(0) - 1}{3 (0) + 1}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$n < - 2$ Falsch

$- 2 < n < - \frac{1}{3}$ Wahr

$n > - \frac{1}{3}$ Falsch

$n < - 2$ Falsch

$- 2 < n < - \frac{1}{3}$ Wahr

$n > - \frac{1}{3}$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 \leq n < - \frac{1}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 2 \leq n < - \frac{1}{3}$

Intervallschreibweise:

$[- 2, - \frac{1}{3})$

Schritt 9