Algebra Beispiele

$x^{2} - 8 x + y^{2} + 6 y = - 9$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$x^{2} - 8 x + {(0)}^{2} + 6 (0) = - 9$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $x^{2} - 8 x + {(0)}^{2} + 6 (0)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} - 8 x + 0 + 6 (0) = - 9$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$x^{2} - 8 x + 0 + 0 = - 9$

Schritt 1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 8 x + 0 + 0$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Addiere $x^{2} - 8 x$ und $0$ .

$x^{2} - 8 x + 0 = - 9$

Schritt 1.2.1.2.2

Addiere $x^{2} - 8 x$ und $0$ .

$x^{2} - 8 x = - 9$

Schritt 1.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 8 x + 9 = 0$

Schritt 1.2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $36$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 1.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{7}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Subtrahiere $36$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{7}$

Schritt 1.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 4 + \sqrt{7}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Subtrahiere $36$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{7}$

Schritt 1.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 4 - \sqrt{7}$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 4 + \sqrt{7}, 4 - \sqrt{7}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(4 + \sqrt{7}, 0), (4 - \sqrt{7}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

${(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + y^{2} + 6 y = - 9$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + y^{2} + 6 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + y^{2} + 6 y = - 9$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$0 + 0 + y^{2} + 6 y = - 9$

Schritt 2.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + y^{2} + 6 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + y^{2} + 6 y = - 9$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $0$ und $y^{2}$ .

$y^{2} + 6 y = - 9$

Schritt 2.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + 6 y + 9 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y^{2} + 6 y + 3^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Schritt 2.2.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$y^{2} + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 3$ .

${(y + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $y + 3$ gleich $0$ .

$y + 3 = 0$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 3$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 3)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(4 + \sqrt{7}, 0), (4 - \sqrt{7}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 3)$

Schritt 4