Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{2 x^{3} - 1} = x$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{2 x^{3} - 1}}^{3} = x^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 x^{3} - 1}$ als ${(2 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(2 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x^{3} - 1)}^{1} = x^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$2 x^{3} - 1 = x^{3}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 1 - x^{3} = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$x^{3} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 1$

Schritt 3.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 1 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 3.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.7

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 3.7.2

Löse $x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$