Algebra Beispiele

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = 1 - x$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{{(x - 1)}^{2}}}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ als ${(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 1)}^{\frac{2}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Schritt 2.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

${({(x - 1)}^{1})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{1})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{1 \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

${(x - 1)}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache ${(1 - x)}^{2}$ .

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Schritt 2.4.1.1

Schreibe ${(1 - x)}^{2}$ als $(1 - x) (1 - x)$ um.

${(x - 1)}^{2} = (1 - x) (1 - x)$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $(1 - x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x - 1)}^{2} = 1 (1 - x) - x (1 - x)$

Schritt 2.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(x - 1)}^{2} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)$

Schritt 2.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(x - 1)}^{2} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

Schritt 2.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

Schritt 2.4.1.3.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x \cdot 1 - x (- x)$

Schritt 2.4.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x - x (- x)$

Schritt 2.4.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Schritt 2.4.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Schritt 2.4.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Schritt 2.4.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x + 1 x^{2}$

Schritt 2.4.1.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x + x^{2}$

Schritt 2.4.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - 2 x + x^{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$1 - 2 x + x^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Forme um.

$1 - 2 x + x^{2} = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.2

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$1 - 2 x + x^{2} = (x - 1) (x - 1)$

Schritt 3.2.3

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 2 x + x^{2} = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Schritt 3.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 2 x + x^{2} = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Schritt 3.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 2 x + x^{2} = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 - 2 x + x^{2} = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.2.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$1 - 2 x + x^{2} = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.2.4.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$1 - 2 x + x^{2} = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.2.4.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$1 - 2 x + x^{2} = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - 2 x + x^{2} = x^{2} - x - x + 1$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$1 - 2 x + x^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 - 2 x + x^{2} - x^{2} = - 2 x + 1$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1 - 2 x + x^{2} - x^{2} + 2 x = 1$

Schritt 3.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - 2 x + x^{2} - x^{2} + 2 x$ .

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$1 - 2 x + 0 + 2 x = 1$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $1 - 2 x$ und $0$ .

$1 - 2 x + 2 x = 1$

Schritt 3.3.3.3

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$1 + 0 = 1$

Schritt 3.3.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$1 = 1$

Schritt 3.4

Da $1 = 1$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Immer wahr

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$