Algebra Beispiele

$(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$(u^{2} + 5 u - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} + 5 u - 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 36$ und deren Summe $5$ ist.

$- 4, 9$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} - 4) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Schritt 5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Schritt 7

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = 9$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 (x) - 5) = 0$

Schritt 7.1.1.2

Schreibe $9$ um als $- 1$ plus $10$

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 10) x - 5) = 0$

Schritt 7.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) = 0$

Schritt 7.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 10 x - 5) = 0$

Schritt 7.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 5)) = 0$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 9

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 10

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 11

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 11.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 11.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 11.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 11.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 11.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 11.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 11.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 11.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 11.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 12

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 12.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 12.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 13

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2, 3 i, - 3 i, \frac{1}{2}, - 5$