Algebra Beispiele

Vereinfache $\frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x}{x^{2} + 3 x - 28} \div \frac{4 x^{2} - 36 x + 56}{2 x^{2} - 98}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x}{x^{2} + 3 x - 28} \cdot \frac{2 x^{2} - 98}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x (x^{2}) - 12 x^{2} + 16 x}{x^{2} + 3 x - 28} \cdot \frac{2 x^{2} - 98}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 16 x}{x^{2} + 3 x - 28} \cdot \frac{2 x^{2} - 98}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $16 x$ heraus.

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x (8)}{x^{2} + 3 x - 28} \cdot \frac{2 x^{2} - 98}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (- 6 x)$ heraus.

$\frac{2 x (x^{2} - 6 x) + 2 x (8)}{x^{2} + 3 x - 28} \cdot \frac{2 x^{2} - 98}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2} - 6 x) + 2 x (8)$ heraus.

$\frac{2 x (x^{2} - 6 x + 8)}{x^{2} + 3 x - 28} \cdot \frac{2 x^{2} - 98}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 4, - 2$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 x ((x - 4) (x - 2))}{x^{2} + 3 x - 28} \cdot \frac{2 x^{2} - 98}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

$\frac{2 x (x - 4) (x - 2)}{x^{2} + 3 x - 28} \cdot \frac{2 x^{2} - 98}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 28$ und deren Summe $3$ ist.

$- 4, 7$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 x (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x + 7)} \cdot \frac{2 x^{2} - 98}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x + 7)} \cdot \frac{2 x^{2} - 98}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{2 x^{2} - 98}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x^{2} - 98$ und $4 x^{2} - 36 x + 56$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{2 (x^{2}) - 98}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 98$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 49}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 49$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{2 (x^{2} - 49)}{4 x^{2} - 36 x + 56}$

Schritt 4.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{2 (x^{2} - 49)}{2 (2 x^{2}) - 36 x + 56}$

Schritt 4.2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 36 x$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{2 (x^{2} - 49)}{2 (2 x^{2}) + 2 (- 18 x) + 56}$

Schritt 4.2.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (- 18 x)$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{2 (x^{2} - 49)}{2 (2 x^{2} - 18 x) + 56}$

Schritt 4.2.4.4

Faktorisiere $2$ aus $56$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{2 (x^{2} - 49)}{2 (2 x^{2} - 18 x) + 2 (28)}$

Schritt 4.2.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2} - 18 x) + 2 (28)$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{2 (x^{2} - 49)}{2 (2 x^{2} - 18 x + 28)}$

Schritt 4.2.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{2 (x^{2} - 49)}{2 (2 x^{2} - 18 x + 28)}$

Schritt 4.2.4.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{x^{2} - 49}{2 x^{2} - 18 x + 28}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{x^{2} - 7^{2}}{2 x^{2} - 18 x + 28}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{2 x^{2} - 18 x + 28}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 18 x + 28$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{2 (x^{2}) - 18 x + 28}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18 x$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{2 (x^{2}) + 2 (- 9 x) + 28}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $28$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{2 x^{2} + 2 (- 9 x) + 2 \cdot 14}$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 9 x)$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{2 (x^{2} - 9 x) + 2 \cdot 14}$

Schritt 6.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 9 x) + 2 \cdot 14$ heraus.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{2 (x^{2} - 9 x + 14)}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{2} - 9 x + 14$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $14$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 7, - 2$

Schritt 6.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{2 ((x - 7) (x - 2))}$

$\frac{2 x (x - 2)}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{2 (x - 7) (x - 2)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 (x - 2)$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $2 (x - 2)$ aus $2 x (x - 2)$ heraus.

$\frac{2 (x - 2) (x)}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{2 (x - 7) (x - 2)}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $2 (x - 2)$ aus $2 (x - 7) (x - 2)$ heraus.

$\frac{2 (x - 2) (x)}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{2 (x - 2) (x - 7)}$

Schritt 7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x - 2) x}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{2 (x - 2) (x - 7)}$

Schritt 7.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x - 7}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x + 7} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x - 7}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{x - 7}{x - 7}$

Schritt 7.3

Kombiniere $x$ und $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{x (x - 7)}{x - 7}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - 7)}{x - 7}$

Schritt 7.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x$