Algebra Beispiele

$\frac{4 x^{2} - 1}{3} = x (10 x - 9)$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{4 x^{2} - 1}{3} \cdot 3 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $\frac{4 x^{2} - 1}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.1.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{{(2 x)}^{2} - 1}{3} \cdot 3 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}{3} \cdot 3 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3} \cdot 3 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3} \cdot 3 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 x + 1) (2 x - 1) = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.3

Multipliziere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.1.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.1.1.4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 x \cdot - 1$ und $1 (2 x)$ neu an.

$2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.4.1.2

Addiere $- 1 \cdot 2 x$ und $1 \cdot 2 x$ .

$2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.4.1.3

Addiere $2 x (2 x)$ und $0$ .

$2 x (2 x) + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.4.2.2.1

Bewege $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.4.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 x^{2} - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $x (10 x - 9) \cdot 3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 1 = (x (10 x) + x \cdot - 9) \cdot 3$

Schritt 2.2.1.1.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} - 1 = (10 x \cdot x + x \cdot - 9) \cdot 3$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 x^{2} - 1 = (10 x \cdot x - 9 \cdot x) \cdot 3$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$4 x^{2} - 1 = (10 (x \cdot x) - 9 \cdot x) \cdot 3$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} - 1 = (10 x^{2} - 9 \cdot x) \cdot 3$

$4 x^{2} - 1 = (10 x^{2} - 9 x) \cdot 3$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 1 = 10 x^{2} \cdot 3 - 9 x \cdot 3$

Schritt 2.2.1.3.2

Multipliziere.

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$4 x^{2} - 1 = 30 x^{2} - 9 x \cdot 3$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 9$ .

$4 x^{2} - 1 = 30 x^{2} - 27 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$30 x^{2} - 27 x = 4 x^{2} - 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$30 x^{2} - 27 x - 4 x^{2} = - 1$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $30 x^{2}$ .

$26 x^{2} - 27 x = - 1$

Schritt 3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$26 x^{2} - 27 x + 1 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 26 \cdot 1 = 26$ und deren Summe gleich $b = - 27$ ist.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $- 27$ aus $- 27 x$ heraus.

$26 x^{2} - 27 x + 1 = 0$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $- 27$ um als $- 1$ plus $- 26$

$26 x^{2} + (- 1 - 26) x + 1 = 0$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$26 x^{2} - 1 x - 26 x + 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(26 x^{2} - 1 x) - 26 x + 1 = 0$

Schritt 3.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (26 x - 1) - (26 x - 1) = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $26 x - 1$ .

$(26 x - 1) (x - 1) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$26 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3.6

Setze $26 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $26 x - 1$ gleich $0$ .

$26 x - 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $26 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$26 x = 1$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $26 x = 1$ durch $26$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $26 x = 1$ durch $26$ .

$\frac{26 x}{26} = \frac{1}{26}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $26$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{26 x}{26} = \frac{1}{26}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{26}$

Schritt 3.7

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(26 x - 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{26}, 1$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{26}, 1$

Dezimalform:

$x = 0.0\overline{384615}, 1$