Algebra Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{4} \sqrt{8 - 4 x} + 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{8 - 4 x} + 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{4} \cdot \sqrt{8 - 4 x} + 1 = 0$ um.

$- \frac{1}{4} \cdot \sqrt{8 - 4 x} + 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{4} \cdot \sqrt{8 - 4 x} = - 1$

Schritt 1.2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \frac{1}{4} \cdot \sqrt{8 - 4 x})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 - 4 x}$ als ${(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- \frac{1}{4} \cdot {(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache ${(- \frac{1}{4} \cdot {(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kombiniere ${(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{4}$ .

${(- \frac{{(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}{4})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{{(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}{4}$ an.

${(- 1)}^{2} {(\frac{{(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}{4})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{{(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}{4}$ an.

${(- 1)}^{2} \frac{{({(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 \frac{{({(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{{({(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{({(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(8 - 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(8 - 4 x)}^{1}}{4^{2}} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4.2

Vereinfache.

$\frac{8 - 4 x}{4^{2}} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4.3

Faktorisiere $4$ aus $8 - 4 x$ heraus.

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Schritt 1.2.4.2.1.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 (2) - 4 x}{4^{2}} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{4 (2) + 4 (- x)}{4^{2}} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2) + 4 (- x)$ heraus.

$\frac{4 (2 - x)}{4^{2}} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{4 (2 - x)}{16} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 (2 - x)}{4 \cdot 4} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (2 - x)}{4 \cdot 4} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - x}{4} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - x}{4} = 1$

Schritt 1.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{2 - x}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache $\frac{2 - x}{4} \cdot 4$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - x}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - x = 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Stelle $2$ und $- x$ um.

$- x + 2 = 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- x + 2 = 4$

Schritt 1.2.5.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.3.1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 4 - 2$

Schritt 1.2.5.3.1.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$- x = 2$

Schritt 1.2.5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Schritt 1.2.5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Schritt 1.2.5.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Schritt 1.2.5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.3.2.3.1

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$x = - 2$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{8 - 4 \cdot 0} + 1$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{8 + 0} + 1$

Schritt 2.2.2

Addiere $8$ und $0$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{8} + 1$

Schritt 2.2.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{4 (2)} + 1$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 1$

Schritt 2.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = - \frac{1}{4} \cdot (2 \sqrt{2}) + 1$

Schritt 2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 1}{4} \cdot (2 \sqrt{2}) + 1$

Schritt 2.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{- 1}{2 (2)} \cdot (2 \sqrt{2}) + 1$

Schritt 2.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$y = \frac{- 1}{2 (2)} \cdot (2 (\sqrt{2})) + 1$

Schritt 2.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \sqrt{2}) + 1$

Schritt 2.2.5.5

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1}{2} \cdot \sqrt{2} + 1$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $\frac{- 1}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$y = \frac{- \sqrt{2}}{2} + 1$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Schritt 4