Algebra Beispiele

$- 4 x^{2} - 13 > 11 x - 7$

Schritt 1

Subtrahiere $11 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x^{2} - 13 - 11 x > - 7$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 4 x^{2} - 13 - 11 x = - 7$

Schritt 3

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{2} - 13 - 11 x + 7 = 0$

Schritt 4

Addiere $- 13$ und $7$ .

$- 4 x^{2} - 11 x - 6 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2} - 11 x - 6$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$- (4 x^{2}) - 11 x - 6 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 11 x$ heraus.

$- (4 x^{2}) - (11 x) - 6 = 0$

Schritt 5.1.3

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$- (4 x^{2}) - (11 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2}) - (11 x)$ heraus.

$- (4 x^{2} + 11 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2} + 11 x) - 1 (6)$ heraus.

$- (4 x^{2} + 11 x + 6) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 6 = 24$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 5.2.1.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 x$ heraus.

$- (4 x^{2} + 11 (x) + 6) = 0$

Schritt 5.2.1.1.2

Schreibe $11$ um als $3$ plus $8$

$- (4 x^{2} + (3 + 8) x + 6) = 0$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (4 x^{2} + 3 x + 8 x + 6) = 0$

Schritt 5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((4 x^{2} + 3 x) + 8 x + 6) = 0$

Schritt 5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (4 x + 3) + 2 (4 x + 3)) = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 3$ .

$- ((4 x + 3) (x + 2)) = 0$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (4 x + 3) (x + 2) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 7

Setze $4 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $4 x + 3$ gleich $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Schritt 7.2

Löse $4 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 3$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{4}$

Schritt 8

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (4 x + 3) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{3}{4}, - 2$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < - \frac{3}{4}$

$x > - \frac{3}{4}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 4 {(- 4)}^{2} - 13 > 11 (- 4) - 7$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 77$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 51$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < - \frac{3}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < - \frac{3}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 4 {(- 1)}^{2} - 13 > 11 (- 1) - 7$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 17$ ist größer als die rechte Seite $- 18$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{3}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{3}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 4 {(0)}^{2} - 13 > 11 (0) - 7$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 13$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < - \frac{3}{4}$ Wahr

$x > - \frac{3}{4}$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < - \frac{3}{4}$ Wahr

$x > - \frac{3}{4}$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 < x < - \frac{3}{4}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 2 < x < - \frac{3}{4}$

Intervallschreibweise:

$(- 2, - \frac{3}{4})$

Schritt 14