Algebra Beispiele

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{h}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - (\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}{h}$

Schritt 1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}}{h}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}}{h}$

Schritt 1.2.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}}{h}$

Schritt 1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}}{h}$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}}{h}$

Schritt 1.2.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{h}$

Schritt 1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{h}$

Schritt 1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Schritt 1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Schritt 1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x^{1}}}{h}$

Schritt 1.2.6.5

Vereinfache.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Schritt 1.3

Um $\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Schritt 1.4

Um $- \frac{\sqrt{x}}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sqrt{x + h} x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x + h} x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x}}{x}$ mit $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x + h} x} - \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Faktoren von $\sqrt{x + h} x$ um.

$\frac{\frac{x}{x \sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x - \sqrt{x} \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.7

Schreibe $\frac{x - \sqrt{x} \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{x - x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.7.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + h}$ als ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{x - x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.7.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x - x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.3.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$\frac{\frac{x - x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.7.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} - x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.7.3.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.7.3.4

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- {(h + x)}^{\frac{1}{2}})}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.7.3.5

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- {(h + x)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}})}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}})}{x \sqrt{x + h}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}))}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.7.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x \sqrt{x + h}$ heraus.

$\frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}))}{x (\sqrt{x + h})}}{h}$

Schritt 1.7.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}))}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.7.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.8

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x + h} x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x + h} x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x + h} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.1

Mutltipliziere $\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x + h} x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + h}}}{h}$

Schritt 1.10.2

Bewege $\sqrt{x + h}$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{x + h} \sqrt{x + h})}}{h}$

Schritt 1.10.3

Potenziere $\sqrt{x + h}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h})}}{h}$

Schritt 1.10.4

Potenziere $\sqrt{x + h}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1})}}{h}$

Schritt 1.10.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x + h}}^{1 + 1}}}{h}$

Schritt 1.10.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x + h}}^{2}}}{h}$

Schritt 1.10.7

Schreibe ${\sqrt{x + h}}^{2}$ als $x + h$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + h}$ als ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{h}$

Schritt 1.10.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{h}$

Schritt 1.10.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Schritt 1.10.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Schritt 1.10.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{1}}}{h}$

Schritt 1.10.7.5

Vereinfache.

$\frac{\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} (x + h)}}{h}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (x + h) h}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} (x + h) h}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $\frac{(x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x + h}}{x^{\frac{1}{2}} (x + h) h}$ um.

$\frac{\sqrt{x + h} (x^{\frac{1}{2}} - {(h + x)}^{\frac{1}{2}})}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$