Algebra Beispiele

$k x - 3 y = 4$ $4 x - 5 y = 7$

Schritt 1

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $3 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$k x = 4 + 3 y$

$4 x - 5 y = 7$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $k x = 4 + 3 y$ durch $k$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $k x = 4 + 3 y$ durch $k$ .

$\frac{k x}{k} = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$4 x - 5 y = 7$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k x}{k} = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$4 x - 5 y = 7$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$4 x - 5 y = 7$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$4 x - 5 y = 7$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$4 x - 5 y = 7$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$4 x - 5 y = 7$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$4 x - 5 y = 7$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\frac{4}{k}) + 4 (\frac{3 y}{k}) - 5 y = 7$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $4 \frac{4}{k}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{k}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{k} + 4 (\frac{3 y}{k}) - 5 y = 7$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16}{k} + 4 (\frac{3 y}{k}) - 5 y = 7$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$\frac{16}{k} + 4 (\frac{3 y}{k}) - 5 y = 7$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.1.3

Multipliziere $4 \frac{3 y}{k}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{3 y}{k}$ .

$\frac{16}{k} + \frac{4 (3 y)}{k} - 5 y = 7$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{16}{k} + \frac{12 y}{k} - 5 y = 7$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$\frac{16}{k} + \frac{12 y}{k} - 5 y = 7$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$\frac{16}{k} + \frac{12 y}{k} - 5 y = 7$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$k, k, 1, 1$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.2.2

Da $k, k, 1, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $k^{1}, k^{1}$ .

Since $k, k, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part k,k.

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

$1$ Notiere die Primfaktoren jeder Zahl.

$2$ Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.2.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.2.6

Der Teiler von $k^{1}$ ist $k$ selbst.

$k = k$

k occurs $1$ time.

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.2.7

Das kgV von $k^{1}, k^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{16}{k} + \frac{12 y}{k} - 5 y = 7$ mit $k$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{16}{k} + \frac{12 y}{k} - 5 y = 7$ mit $k$ .

$\frac{16}{k} \cdot k + \frac{12 y}{k} \cdot k - 5 y k = 7 k$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{k} \cdot k + \frac{12 y}{k} \cdot k - 5 y k = 7 k$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$16 + \frac{12 y}{k} \cdot k - 5 y k = 7 k$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$16 + \frac{12 y}{k} \cdot k - 5 y k = 7 k$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 + \frac{12 y}{k} \cdot k - 5 y k = 7 k$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 + 12 y - 5 y k = 7 k$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$16 + 12 y - 5 y k = 7 k$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$16 + 12 y - 5 y k = 7 k$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$16 + 12 y - 5 y k = 7 k$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$16 + 12 y - 5 y k = 7 k$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 y - 5 y k = 7 k - 16$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $y$ aus $12 y - 5 y k$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $12 y$ heraus.

$y \cdot 12 - 5 y k = 7 k - 16$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- 5 y k$ heraus.

$y \cdot 12 + y (- 5 k) = 7 k - 16$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 12 + y (- 5 k)$ heraus.

$y \cdot (12 - 5 k) = 7 k - 16$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.4.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $12 - 5 k$ .

$y (12 - 5 k) = 7 k - 16$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$y (12 - 5 k) = 7 k - 16$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y (12 - 5 k) = 7 k - 16$ durch $12 - 5 k$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (12 - 5 k) = 7 k - 16$ durch $12 - 5 k$ .

$\frac{y (12 - 5 k)}{12 - 5 k} = \frac{7 k}{12 - 5 k} + \frac{- 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12 - 5 k$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (12 - 5 k)}{12 - 5 k} = \frac{7 k}{12 - 5 k} + \frac{- 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7 k}{12 - 5 k} + \frac{- 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$y = \frac{7 k}{12 - 5 k} + \frac{- 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$y = \frac{7 k}{12 - 5 k} + \frac{- 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{4}{k} + \frac{3 y}{k}$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{4}{k} + \frac{3 (\frac{7 k - 16}{12 - 5 k})}{k}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{4 + 3 (\frac{7 k - 16}{12 - 5 k})}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$ .

$x = \frac{4 + \frac{3 (7 k - 16)}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.3

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12 - 5 k}{12 - 5 k}$ .

$x = \frac{4 \cdot \frac{12 - 5 k}{12 - 5 k} + \frac{3 (7 k - 16)}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.4.1

Kombiniere $4$ und $\frac{12 - 5 k}{12 - 5 k}$ .

$x = \frac{\frac{4 (12 - 5 k)}{12 - 5 k} + \frac{3 (7 k - 16)}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\frac{4 (12 - 5 k) + 3 (7 k - 16)}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{\frac{4 (12 - 5 k) + 3 (7 k - 16)}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{\frac{4 \cdot 12 + 4 (- 5 k) + 3 (7 k - 16)}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$x = \frac{\frac{48 + 4 (- 5 k) + 3 (7 k - 16)}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.5.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$x = \frac{\frac{48 - 20 k + 3 (7 k - 16)}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{\frac{48 - 20 k + 3 (7 k) + 3 \cdot - 16}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.5.5

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$x = \frac{\frac{48 - 20 k + 21 k + 3 \cdot - 16}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$x = \frac{\frac{48 - 20 k + 21 k - 48}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.5.7

Subtrahiere $48$ von $48$ .

$x = \frac{\frac{- 20 k + 21 k + 0}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.5.8

Addiere $- 20 k + 21 k$ und $0$ .

$x = \frac{\frac{- 20 k + 21 k}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.5.9

Addiere $- 20 k$ und $21 k$ .

$x = \frac{\frac{k}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{\frac{k}{12 - 5 k}}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{k}{12 - 5 k} \cdot \frac{1}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k$ .

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Schritt 3.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{k}{12 - 5 k} \cdot \frac{1}{k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

Schritt 3.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{12 - 5 k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{1}{12 - 5 k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{1}{12 - 5 k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$

$x = \frac{1}{12 - 5 k}$

$y = \frac{7 k - 16}{12 - 5 k}$