Algebra Beispiele

$3 e^{4 x} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Schritt 1

Schreibe $e^{4 x}$ als Potenz um.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Schritt 2

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 {(e^{x})}^{2} - 15 = 0$

Schritt 3

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $u = u^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$3 u^{2} - 9 u - 15 = 0$

$u = u^{2}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $3$ aus $3 u^{2} - 9 u - 15$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u^{2}$ heraus.

$3 (u^{2}) - 9 u - 15 = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9 u$ heraus.

$3 (u^{2}) + 3 (- 3 u) - 15 = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$3 u^{2} + 3 (- 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere $3$ aus $3 u^{2} + 3 (- 3 u)$ heraus.

$3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Schritt 4.2.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5$ heraus.

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $u^{2} - 3 u - 5$ durch $1$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = \frac{0}{3}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.3

Addiere $9$ und $20$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}, \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

Schritt 4.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = u^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$u^{2} = 4.1925824$

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Schritt 4.9

Löse die erste Gleichung nach $u$ auf.

$u^{2} = 4.1925824$

Schritt 4.10

Löse die Gleichung nach $u$ auf.

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Schritt 4.10.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$u = \pm \sqrt{4.1925824}$

Schritt 4.10.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.10.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = \sqrt{4.1925824}$

Schritt 4.10.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - \sqrt{4.1925824}$

Schritt 4.10.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}$

Schritt 4.11

Löse die zweite Gleichung nach $u$ auf.

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Schritt 4.12

Löse die Gleichung nach $u$ auf.

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Schritt 4.12.1

Entferne die Klammern.

$u^{2} = - 1.1925824$

Schritt 4.12.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$u = \pm \sqrt{- 1.1925824}$

Schritt 4.12.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 1.1925824}$ .

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Schritt 4.12.3.1

Schreibe $- 1.1925824$ als $- 1 (1.1925824)$ um.

$u = \pm \sqrt{- 1 (1.1925824)}$

Schritt 4.12.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (1.1925824)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$ um.

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$

Schritt 4.12.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \pm i \sqrt{1.1925824}$

Schritt 4.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = i \sqrt{1.1925824}$

Schritt 4.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - i \sqrt{1.1925824}$

Schritt 4.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Schritt 4.13

Die Lösung von $3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$ ist $u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Schritt 5

Setze $\sqrt{4.1925824}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$\sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Schritt 6

Löse $\sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = \sqrt{4.1925824}$ um.

$e^{x} = \sqrt{4.1925824}$

Schritt 6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Schritt 6.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Schritt 6.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Schritt 7

Setze $- \sqrt{4.1925824}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Schritt 8

Löse $- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$ um.

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Schritt 8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \sqrt{4.1925824})$

Schritt 8.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- \sqrt{4.1925824})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 8.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Keine Lösung

Schritt 9

Setze $i \sqrt{1.1925824}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Schritt 10

Löse $i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$ um.

$e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$

Schritt 10.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Schritt 10.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 10.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Schritt 10.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Schritt 10.4

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 10.4.1

Schreibe $\ln (i \sqrt{1.1925824})$ als $\ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$ um.

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$

Schritt 10.4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1.1925824}$ als ${1.1925824}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.4.3

Zerlege $\ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Schritt 10.4.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (1.1925824)}{2}$

Schritt 10.5

Vereinfache.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.5.1.1

Schreibe $\frac{\ln (1.1925824)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ um.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Schritt 10.5.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.5.1.3

Schreibe $1.1925824$ als ${1.09205421}^{2}$ um.

$x = \ln (i) + \ln ({({1.09205421}^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.5.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 10.5.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.5.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 10.5.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{1})$

Schritt 10.5.1.6

Berechne den Exponenten.

$x = \ln (i) + \ln (1.09205421)$

Schritt 10.5.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 1.09205421)$

Schritt 10.5.3

Bringe $1.09205421$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \ln (1.09205421 i)$

Schritt 11

Setze $- i \sqrt{1.1925824}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Schritt 12

Löse $- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

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Schritt 12.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$ um.

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Schritt 12.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{1.1925824})$

Schritt 12.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- i \sqrt{1.1925824})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 12.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Keine Lösung

Schritt 13

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (\sqrt{4.1925824}), \ln (1.09205421 i)$