Algebra Beispiele

$\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} > \sqrt{3}$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{c}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{c + 9} > \sqrt{3} + \sqrt{c}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{c + 9}}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{c + 9}$ als ${(c + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(c + 9)}^{1} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$c + 9 > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ als $(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ um.

$c + 9 > (\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$c + 9 > \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{c}) + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$c + 9 > \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$c + 9 > \sqrt{9} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$c + 9 > \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Multipliziere $\sqrt{c} \sqrt{c}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.7.1

Potenziere $\sqrt{c}$ mit $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}$

Schritt 3.3.1.3.1.7.2

Potenziere $\sqrt{c}$ mit $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.8

Schreibe ${\sqrt{c}}^{2}$ als $c$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{c}$ als $c^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.8.5

Vereinfache.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $\sqrt{3 c}$ und $\sqrt{c \cdot 3}$ .

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Schritt 3.3.1.3.2.1

Stelle $c$ und $3$ um.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{3 \cdot c} + c$

Schritt 3.3.1.3.2.2

Addiere $\sqrt{3 c}$ und $\sqrt{3 \cdot c}$ .

$c + 9 > 3 + 2 \sqrt{3 c} + c$

Schritt 4

Löse nach $2 \sqrt{3 c}$ auf.

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Schritt 4.1

Stelle so um, dass $2 \sqrt{3 c}$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$3 + 2 \sqrt{3 c} + c < c + 9$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{3 c}$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 \sqrt{3 c} + c < c + 9 - 3$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $c$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 \sqrt{3 c} < c + 9 - 3 - c$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $c + 9 - 3 - c$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $c$ von $c$ .

$2 \sqrt{3 c} < 0 + 9 - 3$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $0$ und $9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 9 - 3$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 6$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(2 \sqrt{3 c})}^{2} < 6^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 c}$ als ${(3 c)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 c$ an.

${(2 (3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}))}^{2} < 6^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}$ an.

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Schritt 6.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Schritt 6.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Schritt 6.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 3^{1} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$4 \cdot 3 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Schritt 6.2.1.7

Multipliziere die Exponenten in ${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Schritt 6.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Schritt 6.2.1.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$12 c^{1} < 6^{2}$

Schritt 6.2.1.8

Vereinfache.

$12 c < 6^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$12 c < 36$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $12 c < 36$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $12 c < 36$ durch $12$ .

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c < \frac{36}{12}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $36$ durch $12$ .

$c < 3$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} - \sqrt{3}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{c + 9}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$c + 9 \geq 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$c \geq - 9$

Schritt 8.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{c}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$c \geq 0$

Schritt 8.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $c$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$c < 0$

$0 < c < 3$

$c > 3$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $c < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $c < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$c = - 2$

Schritt 10.1.2

Ersetze $c$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(- 2) + 9} - \sqrt{- 2} > \sqrt{3}$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < c < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < c < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$c = 2$

Schritt 10.2.2

Ersetze $c$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(2) + 9} - \sqrt{2} > \sqrt{3}$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $1.90241122$ ist größer als die rechte Seite $1.7320508$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $c > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $c > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$c = 6$

Schritt 10.3.2

Ersetze $c$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(6) + 9} - \sqrt{6} > \sqrt{3}$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $1.4234936$ ist nicht größer als die rechte Seite $1.7320508$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$c < 0$ Falsch

$0 < c < 3$ Wahr

$c > 3$ Falsch

$c < 0$ Falsch

$0 < c < 3$ Wahr

$c > 3$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < c < 3$

Schritt 12