Algebra Beispiele

$108 x^{3} + 37 = 5$

Schritt 1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$108 x^{3} + 37 - 5 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $5$ von $37$ .

$108 x^{3} + 32 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $4$ aus $108 x^{3} + 32$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4$ aus $108 x^{3}$ heraus.

$4 (27 x^{3}) + 32 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$4 (27 x^{3}) + 4 (8) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (27 x^{3}) + 4 (8)$ heraus.

$4 (27 x^{3} + 8) = 0$

Schritt 4

Schreibe $27 x^{3}$ als ${(3 x)}^{3}$ um.

$4 ({(3 x)}^{3} + 8) = 0$

Schritt 5

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$4 ({(3 x)}^{3} + 2^{3}) = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 3 x$ und $b = 2$ .

$4 ((3 x + 2) ({(3 x)}^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$4 ((3 x + 2) (3^{2} x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 7.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 2^{2})) = 0$

Schritt 7.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4)) = 0$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$

Schritt 9

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 9.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 9.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 9.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 10

Setze $9 x^{2} - 6 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $9 x^{2} - 6 x + 4$ gleich $0$ .

$9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$

Schritt 10.2

Löse $9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.2.2

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 6$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 4)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache.

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Schritt 10.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.3.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 4$ .

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Schritt 10.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3.1.3

Subtrahiere $144$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3.1.4

Schreibe $- 108$ als $- 1 (108)$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (108)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3.1.7

Schreibe $108$ als $6^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 10.2.3.1.7.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 10.2.3.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 10.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.4.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 4$ .

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Schritt 10.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.4.1.3

Subtrahiere $144$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.4.1.4

Schreibe $- 108$ als $- 1 (108)$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (108)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.4.1.7

Schreibe $108$ als $6^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 10.2.4.1.7.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.4.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.4.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 10.2.4.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 10.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 10.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 4$ .

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Schritt 10.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.5.1.3

Subtrahiere $144$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.5.1.4

Schreibe $- 108$ als $- 1 (108)$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (108)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.5.1.7

Schreibe $108$ als $6^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 10.2.5.1.7.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.5.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.5.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 10.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 10.2.5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 10.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 10.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$