Algebra Beispiele

$y = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$ um.

${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1^{y - 1}}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Schritt 2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{2^{y - 1}} = x - 2$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2^{y - 1}$ .

$1 = 2^{y - 1} (x - 2)$

Schritt 2.5

Schreibe die Gleichung als $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ um.

$2^{y - 1} (x - 2) = 1$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ durch $x - 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ durch $x - 2$ .

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Schritt 2.6.2.1.2

Dividiere $2^{y - 1}$ durch $1$ .

$2^{y - 1} = \frac{1}{x - 2}$

Schritt 2.7

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Schritt 2.8

Zerlege $\ln (2^{y - 1})$ durch Herausziehen von $y - 1$ aus dem Logarithmus.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Schritt 2.9

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.9.1

Vereinfache $(y - 1) \ln (2)$ .

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Schritt 2.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Schritt 2.9.1.2

Schreibe $- 1 \ln (2)$ als $- \ln (2)$ um.

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Schritt 2.10

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = 0$

Schritt 2.11

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.11.1

Addiere $\ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = \ln (2)$

Schritt 2.11.2

Addiere $\ln (\frac{1}{x - 2})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$

Schritt 2.12

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Schritt 2.12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 2.12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Schritt 2.12.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Schritt 2.12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.12.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 2.12.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Schritt 2.12.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 0})}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere ${(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1}})}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1^{x - 1}}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.4.2.2

Mutltipliziere $2^{x - 1}$ mit $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.4.3

Zerlege $\ln (2^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 4.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 4.2.4.4.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + x - 1$

Schritt 4.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x - 1$ .

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x + 0$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{0 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $0$ und $\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Schritt 4.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Schritt 4.3.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Schritt 4.3.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.3.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (\frac{1}{x - 2})}} + 2$

Schritt 4.3.4.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Schritt 4.3.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = 1 (x - 2) + 2$

Schritt 4.3.4.5

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x - 2 + 2$

Schritt 4.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 4.3.5.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x + 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$