Algebra Beispiele

$\frac{3}{9 x^{3} - 225 x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{4 x}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 5 x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{3}{9 x^{3} - 225 x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x \cdot x + 5 x}{4 x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{3}{9 x^{3} - 225 x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{4 x}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 5$ heraus.

$\frac{3}{9 x^{3} - 225 x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x^{3} - 225 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\frac{3}{9 x (x^{2}) - 225 x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9 x$ aus $- 225 x$ heraus.

$\frac{3}{9 x (x^{2}) + 9 x (- 25)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x (x^{2}) + 9 x (- 25)$ heraus.

$\frac{3}{9 x (x^{2} - 25)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 2.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{3}{9 x (x^{2} - 5^{2})} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{3}{9 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{3}{9 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{5^{2} - x^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$\frac{3}{9 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{3}{9 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{3}{9 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{9 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x (x + 5) (x - 5)$ heraus.

$\frac{3 (1)}{3 (3 x (x + 5) (x - 5))} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (3 x (x + 5) (x - 5))} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 + x$ und $x + 5$ .

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Schritt 5.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (5 - x)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (5 - x)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{5 - x}{x - 5} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 - x$ und $x - 5$ .

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Schritt 5.3.1

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{1}{3 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1 (- 5) - x}{x - 5} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{1}{3 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1 (- 5) - (x)}{x - 5} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 5) - (x)$ heraus.

$\frac{1}{3 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1 (- 5 + x)}{x - 5} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1 (x - 5)}{x - 5} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1 (x - 5)}{x - 5} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.3.6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{3 x (x + 5) (x - 5)} \cdot - 1 \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.4

Kombiniere $\frac{1}{3 x (x + 5) (x - 5)}$ und $- 1$ .

$\frac{- 1}{3 x (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x (x + 5)$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $x (x + 5)$ aus $3 x (x + 5) (x - 5)$ heraus.

$\frac{- 1}{x (x + 5) ((3) (x - 5))} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x (x + 5) ((3) (x - 5))} \cdot \frac{x (x + 5)}{4 x}$

Schritt 5.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{(3) (x - 5)} \cdot \frac{1}{4 x}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $\frac{- 1}{(3) (x - 5)}$ mit $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{- 1}{(3) (x - 5) (4 x)}$

Schritt 5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{- 1}{12 (x - 5) x}$

Schritt 5.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{12 (x - 5) x}$

Schritt 5.7.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{1}{12 (x - 5) x}$ um.

$- \frac{1}{12 x (x - 5)}$