Algebra Beispiele

$\frac{20 x - 4 x^{2}}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \div \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{20 x - 4 x^{2}}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $20 x - 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $20 x$ heraus.

$\frac{4 x (5) - 4 x^{2}}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 x (5) + 4 x (- x)}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (5) + 4 x (- x)$ heraus.

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x) + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x) + 2 x (1)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x) + 2 x (1)$ heraus.

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} - 10^{2}}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x (5 - x)$ heraus.

$\frac{2 (2 x (5 - x))}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (x + 1)$ heraus.

$\frac{2 (2 x (5 - x))}{2 (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x (5 - x))}{2 (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x (5 - x)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (5 - x)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 10$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 4.3.2

Dividiere $x - 10$ durch $1$ .

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot (x - 10) \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{2 (5 - x)}{x + 1}$ mit $x - 10$ .

$\frac{2 (5 - x) (x - 10)}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 (5 - x) (x - 10)}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{2 (5 - x) (x - 10)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 11 x + 10}$

Schritt 6

Faktorisiere $x^{2} - 11 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 10, - 1$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 (5 - x) (x - 10)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 10) (x - 1)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 10$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $x - 10$ aus $2 (5 - x) (x - 10)$ heraus.

$\frac{(x - 10) (2 (5 - x))}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 10) (x - 1)}$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 10) (2 (5 - x))}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 10) (x - 1)}$

Schritt 7.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (5 - x) \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{x - 1}{x - 1}$ und $2$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{x - 1} (5 - x)$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{x - 1} (5 - x)$

Schritt 7.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 (5 - x)$

Schritt 7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 5 + 2 (- x)$

Schritt 7.6

Multipliziere.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 + 2 (- x)$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$10 - 2 x$