Algebra Beispiele

$y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$ durch $x^{2} - 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$ durch $x^{2} - 4$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 4$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} = \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y^{2} = \frac{x + 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$y^{2} = \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \frac{1}{x - 2}$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$

Schritt 3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$

Schritt 3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $\sqrt{x - 2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $\sqrt{x - 2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

Schritt 3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ als $x - 2$ um.

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Schritt 3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

Schritt 3.4.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Schritt 5

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 \geq 0$

Schritt 6

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 2$

Schritt 7

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 8

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 2}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(2, \infty), {x | x > 2}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 12