Algebra Beispiele

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} - \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} + 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

Schritt 2

Um $\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

Schritt 3

Um $- \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 2) (x + 3) (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 2) (x + 3) (x + 1)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 2) (x + 3) (x + 1)} - \frac{(x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x + 3) (x + 1)$ um.

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 1) (x + 1) - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x - 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 1) - 1 (x + 1) - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1) - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 6.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot 1$ und $- 1 x$ neu an.

$\frac{x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $1 x$ von $1 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 1 + (- x - - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 1 + (- x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.6

Multipliziere $(- x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 1 - x (x - 2) + 2 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.7.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.7.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 - (x \cdot x) - x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.7.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x^{2} - x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.7.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.7.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.7.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x^{2} + 4 x - 4}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.8

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{0 - 1 + 4 x - 4}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.9

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1 + 4 x - 4}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Schritt 6.10

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$\frac{4 x - 5}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$