Algebra Beispiele

$\frac{x + 3}{x^{2} + 8 x + 15} \div \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x + 3}{x^{2} + 8 x + 15}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 8 x + 15 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} + 8 x + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $8$ ist.

$3, 5$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 3) (x + 5) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.4

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, - 5$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 25}{x - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 5 = 0$

Schritt 4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{x + 3}{x^{2} + 8 x + 15} \div \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x^{2} - 25}{x - 5} = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 25 = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 25$

Schritt 6.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 6.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 6.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 6.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 6.3

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{x^{2} - 25}{x - 5} = 0$ nicht erfüllen.

$x = - 5$

Schritt 7

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 5, x = - 3, x = 5$

Schritt 8