Algebra Beispiele

$1 = \cot^{2} (x) + \csc (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$ um.

$\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$

Schritt 2

Ersetze die $\cot^{2} (x)$ durch $\csc^{2} (x) - 1$ basierend auf der $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\csc^{2} (x) - 1) + \csc (x) = 1$

Schritt 3

Stelle das Polynom um.

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 1 = 1$

Schritt 4

Ersetze $\csc (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + u - 1 = 1$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + u - 1 - 1 = 0$

Schritt 6

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Schritt 7

Faktorisiere $u^{2} + u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Schritt 9

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 10

Setze $u + 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $u + 2$ gleich $0$ .

$u + 2 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 2$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 1) (u + 2) = 0$ wahr machen.

$u = 1, - 2$

Schritt 12

Ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$\csc (x) = 1, - 2$

Schritt 13

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 2$

Schritt 14

Löse in $\csc (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (1)$

Schritt 14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.1

Der genau Wert von $arccsc (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 14.3

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 14.4

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 14.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 14.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 14.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 14.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 14.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 14.5

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14.6

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 15

Löse in $\csc (x) = - 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (- 2)$

Schritt 15.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 15.2.1

Der genau Wert von $arccsc (- 2)$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Schritt 15.3

Die Kosekansfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um den Referenzwinkel zu finden. Addiere dann diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 15.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 15.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 15.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 15.5

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 15.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 15.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 15.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 15.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 15.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 15.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Schritt 15.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 15.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 15.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 15.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.6.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Schritt 15.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Schritt 15.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 15.7

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 16

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 17

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$